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Lexikon der Mathematik: Differentiationsregeln

wichtige Regeln in der (elementaren) Analysis und Funktionentheorie.

Die Differentiationsregeln beschreiben, wie sich die Ableitungen von zusammengesetzten Funktionen aus den Ableitungen der Teilfunktionen berechnen lassen.

Dazu gehören, jeweils unter geeigneten Voraussetzungen, die Konstantenregel \begin{eqnarray}(cf{)}^{^{\prime} }=c{f}^{^{\prime} },\end{eqnarray} die Summenregel bzw. Differenzenregel \begin{eqnarray}(f\pm g{)}^{^{\prime} }={f}^{^{\prime} }\pm {g}^{^{\prime} },\end{eqnarray} die Produktregel \begin{eqnarray}(fg{)}^{^{\prime} }={f}^{^{\prime} }g+f{g}^{^{\prime} }\end{eqnarray} mit der in eingängiger Schreibweise notierten Verallgemeinerung \begin{eqnarray}\frac{({f}_{1}\cdot \cdots \cdot {f}_{n}{)}^{^{\prime} }}{{f}_{1}\cdot \cdots \cdot {f}_{n}}=\frac{{f}_{1}^{^{\prime} }}{{f}_{1}}+\cdots +\frac{{f}_{n}^{^{\prime} }}{{f}_{n}},\end{eqnarray} die Quotientenregel \begin{eqnarray}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{{f}^{^{\prime} }g-f{g}^{^{\prime} }}{{g}^{2}}\end{eqnarray} mit der Reziprokenregel \begin{eqnarray}{\left(\frac{1}{f}\right)}^{^{\prime} }=-\frac{{f}^{^{\prime} }}{{f}^{2}}\end{eqnarray} als Spezialfall, die Kettenregel für Funktionen einer Variablen, \begin{eqnarray}\(f\circ g{)}^{^{\prime} }=({f}^{^{\prime} }\circ g){g}^{^{\prime} },\end{eqnarray} d. h. (fg)′(x) = f′(g(x)) g′(x), und für Funktionen mehrerer Variablen, \begin{eqnarray}{F}^{^{\prime} }(t)=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(\frac{\partial }{\partial {x}_{k}}f({x}_{1}(t),\mathrm{\ldots },{x}_{n}(t))\right){x}_{k}^{^{\prime} }(t)\end{eqnarray} für F(t) = f(x1(t), …, xn(t)), und die Inversenregel für die Differentiation der Umkehrfunktion, \begin{eqnarray}{({f}^{-1})}^{^{\prime} }={({f}^{^{\prime} })}^{-1},\end{eqnarray} d. h. (f−1)′(y) = (f′(x))−1 für y = f(x).

Besonders einprägsame Darstellungen haben die Differentiationsregeln im Leibnizschen Differentialkalkül.

Die Konstantenregel und die Summenregel besagen zusammen die Linearität des Differential-operators. Mit diesen Regeln und den sich aus der Differentiation der elementaren Funktionen ergebenden Ableitungen lassen sich auch Zusammensetzungen der elementaren Funktionen differenzieren. Mit Kettenregel und Produktregel erhält man beispielsweise die Aussage \begin{eqnarray}{\left({e}^{({x}^{2})}\sin x\right)}^{^{\prime} }=2x{e}^{({x}^{2})}\sin x+{e}^{({x}^{2})}\cos x.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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