Die differentielle Geradengeometrie ist die Differentialgeometrie im Raum \(({\tilde{E}}^{(3,1)}({\mathbb{R}}))\) aller gerichteten Geraden des ℝ³.

Die Menge \(({\tilde{E}}^{(3,1)}({\mathbb{R}}))\) ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension 4 (Differentialgeometrie). Von den vielen Möglichkeiten, ihre Mannigfaltigkeitsstruktur zu definieren, erwähnen wir nur die folgende Konstruktion, deren Resultat eine Identifizierung von \(({\tilde{E}}^{(3,1)}({\mathbb{R}}))\) mit einer vierdimensionalen Untermannigfaltigkeit von 𝔻³ ist, dem aus allen Tripeln dualer Zahlen bestehenden Raum.

Jede gerichtete Gerade \({\mathscr{G}}\subset {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{3}\) besitzt eine Parametergleichung der Form α(t) = P + t 𝔞, in der der Richtungsvektor a durch die Forderung |𝔞| = 1 eindeutig bestimmt ist. Man setzt \({\mathfrak{a}}={\mathfrak{b}}\times \overrightarrow{OP}\) und definiert durch \(i({\mathscr{G}})={\mathfrak{a}}=\varepsilon {\mathfrak{b}}\in {{\mathbb{D}}}^{3}\) eine injektive Abbildung i von \(({\tilde{E}}^{(3,1)}({\mathbb{R}}))\) in den Raum ℝ⁶, der durch die Zuordnung (a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃) = (𝔞, 𝔟) ∈ ℝ³ → 𝔞 + ϵ 𝔟 = (a₁ + ϵ b₁, a₂ + ϵ b₂, a₃ + ϵ b₃) ∈ 𝔻³ mit dem Raum 𝔻³ identifiziert wird.

Die Bildmenge \(i({\tilde{E}}^{(3,1)}({\mathbb{R}}))\) besteht aus allen dualen Vektoren 𝔞 + ϵ 𝔟 mit |𝔞| = 1 und 𝔞 · 𝔟 = 0, d. h., 𝔞 durchläuft die Sphäre S² ⊂ ℝ³ und 𝔟 die Tangentialebene T_𝔞(S²), so daß \(i({\tilde{E}}^{(3,1)}({\mathbb{R}}))\) bei der Abbildung i auf die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume T_𝔞(S²), das Tangentialbündel T(S²) von S², abgebildet wird.

Die Abbildung i ist injektiv und das Urbild \begin{eqnarray}{i}^{-1}(a+\varepsilon b)\end{eqnarray} eines dualen Vektors 𝔞 + ϵ 𝔟 ∈ T(S²) ist die Gerade, die aus allen Punkten X ∈ ℝ³ besteht, die die Gleichung {\(\overrightarrow{0X}\) | \(\overrightarrow{0X}\) × 𝔞 = 𝔟} erfüllen. \(i({\tilde{E}}^{(3,1)}({\mathbb{R}}))\) kann man daher mit T(S²) identifizieren.

Ausgehend von der durch \begin{array} (( {\mathfrak{a}}_{1}+\varepsilon \ \ {\mathfrak{b}}_{1})\cdot ({\mathfrak{a}}_{2}+\varepsilon \ \ {\mathfrak{b}}_{2})={\mathfrak{a}}_{2}\cdot {\mathfrak{a}}_{2}+2\varepsilon \ \ {a}\cdot {b} \end{array} definierten bilinearen Ausdehnung des Skalarproduktes des ℝ³ auf 𝔻³ gelangt man zu dualen Verallgemeinerungen von Begriffen der elementaren Geometrie, wie z. B. dualer Abstand, dualer Winkel oder duale orthogonale Gruppe O(3, 𝔻).

Im Zusammenhang mit den dualen Zahlen wird T(S²) als Teilmenge von 𝔻³ auch duale Sphäre genannt und mit \({S}_{{\mathbb{D}}}^{2}\) bezeichnet, weil die Bedingungen 𝔞 · 𝔞 = 1 und 𝔞 · 𝔟 = 0 gleichwertig dazu sind, daß das duale Salarprodukt (𝔞 + ϵ 𝔟) · (𝔞 + ϵ 𝔟) den Wert 1 hat.

Auch in den Begriffen des dualen Winkels und der dualen orthogonalen Gruppe O(3, 𝔻) spiegeln sich geometrische Lagebeziehungen der Geraden wider. Der duale Abstand zweier Geraden 𝔄₁ = 𝔞₁ + ϵ 𝔟₁ und 𝔄₂ = 𝔞₂ + ϵ 𝔟₂ ist die duale Zahl a + ϵ b = 𝔄₁ · 𝔄₂, deren Realteil a der Cosinus des von Geraden eingeschlossenen Winkels und deren Dualteil b ihr senkrechter Abstand ist.

Es gibt einen Isomorphismus I : \(\tilde{E}\)(3, ℝ) → O(3, 𝔻) der Gruppe \(\tilde{E}\)(3, ℝ) der orientierungserhaltenden Euklidischen Bewegungen auf O(3, 𝔻). Dieser ist äquivariant in Hinsicht auf Euklidische Bewegungen in ℝ³ und duale orthogonale Transformationen von \(\tilde{E}\)(3, ℝ). In mathematischer Formelsprache wird diese Äquivarianz durch die Gleichung \(i(g({\mathscr{G}})=I(g)(g({\mathscr{G}})\) ausgedrückt, die für jede Euklidische Bewegung g ∈ \(\tilde{E}\)(3, ℝ) und jede Gerade \({\mathscr{G}}\in {\tilde{E}}^{(3,1)}({\rm{{\mathbb{R}}}})\) gilt. Diese Algebraisierung der Liniengeometrie geht auf Eduard Study zurück. Sie ist als Übertragungsprinzip von Study bekannt.

Noch vor Study hat J. Plücker (1801–1868) erste algebraische Untersuchungen von \(\tilde{E}\)(3, ℝ) durchgeführt. W. R. Hamilton (1805–1865) hat die Geradengeometrie im Zusammenhang mit der geometrischen Optik entwickelt. E. Kummer (1810– 1893) hat grundlegende Forschungen zur Differentialgeometrie der Kurven, Flächen und dreidimensionalen Untermannigfaltigkeiten von \(\tilde{E}\)(3, ℝ) geleistet. Diese haben enge Beziehungen zur Flächentheorie: Eine Regelfläche ist eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit von \(\tilde{E}\)(3, ℝ). Zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten von \(\tilde{E}\)(3, ℝ) heißen Strahlensysteme, Untermannigfaltigkeiten der Dimension 3 Geraden- oder Linienkomplexe. Letztere sind nicht in gleichem Umfang wie Strahlensysteme untersucht worden.

Strahlensysteme begegnen uns in der Optik als Bündel von Lichtstrahlen, die z. B. aus einer punktförmigen Lichtquelle austreten und nach wiederholter Brechung oder Reflexion an gekrümmten Flächen in verschiedene Richtungen auseinander streben. Andere Beispiele liefern die Normalensysteme, die aus der Schar aller Normalen einer 2-dimensionalen Fläche des ℝ³ bestehen.

Jedes Stahlensystem S bestimmt als differentielle Invarianten durch geometrische Konstruktionen eine Reihe von Flächen des ℝ³, die jedoch häufig singuläre Punkte und Linien aufweisen. Legt man durch einen Strahl \(S\in {\mathscr{S}}\) eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit \({\mathscr{R}}\), so wird diese als Regelfläche angesehen und bestimmt auf S einen sog. Kehlpunkt. Dieser hängt nur von der Richtung des Tangentialvektors von \({\mathscr{R}}\) in S ab. Da die Menge dieser Richtungen kompakt ist, ist die Menge dieser Kehlpunkte ein kompaktes Intervall auf \({\mathscr{S}}\). Seine Endpunkte K₁ und K₂ heißen die Grenzpunkte. Wenn S ganz \({\mathscr{S}}\) durchläuft, so durchlaufen K₁ und K₂ zwei Flächen, die sogenannten Grenzflächen von \({\mathscr{S}}\). Als Mittelpunkt des Strahls S definiert man den Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von K₁ und K₂ und die Mittenfläche von \({\mathscr{S}}\) als Menge aller Mittelpunkte der Strahlen.

Einen großen Beispielvorrat für Strahlensysteme liefert die Konstruktion der Evolutenfläche einer gegebenen Fläche \({\mathscr{F}}\subset {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{3}\). Diese besteht aus zwei Mänteln von \({\mathscr{F}}\), d. h., aus zwei Flächen M₁ und M₂, die in Analogie zur Evolute einer Kurve durch Antragen des mit den Hauptkrümmungen k₁ bzw. k₂ multiplizierten Normalenvektors k₁ 𝔫(P) bzw. k₂ 𝔫(P) an die Punkte \(P\in {\mathscr{F}}\) entstehen. Für die Mäntel M₁ und M₂ erhält man die Parameterdarstellung \begin{eqnarray}{M}_{i}=\{P+{k}_{i}n(P);P\in {\mathscr{F}}\},\end{eqnarray}i ∈ {1, 2}, und die zugehörige Flächenabbildung l ordnet dem Punkt P + k₁ 𝔫(P) ∈ M₁ den Punkt P + k₂ 𝔫(P) ∈ M₁ zu.

Anwendungen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen haben durch die Theorie der Bäcklundtransformationen sogenannte Geradenkongruenzen. Das sind Strahlensysteme \({\mathscr{S}}\), zu denen es zwei Flächen \({{\mathscr{F}}}_{1},{{\mathscr{F}}}_{2}\subset {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{3}\) und eine Flächenabbildung \(l:{{\mathscr{F}}}_{1}\to {{\mathscr{F}}}_{2}\) derart gibt, daß \({\mathscr{S}}\) aus allen Verbindungsgeraden \({{\mathscr{G}}}_{P}\) der Punkte \(P\in {{\mathscr{F}}}_{1}\) mit ihren Bildpunkten \(l(P)\in {{\mathscr{F}}}_{2}\) besteht. Außerdem wird verlangt, daß \({{\mathscr{G}}}_{P}\) beide Flächen \({{\mathscr{F}}}_{1}\) und \({{\mathscr{F}}}_{2}\) in den Punkten P bzw l(P) tangiert, d. h., im Durchschnitt der Tangentialebenen \({T}_{P}({{\mathscr{F}}}_{1})\) und \({T}_{P}l({{\mathscr{F}}}_{1})\) liegt. \({{\mathscr{F}}}_{1}\) und \({{\mathscr{F}}}_{2}\) heißen dann die Brennflächen von \({\mathscr{S}}\).

Eine Geradenkongruenz \(l:{{\mathscr{F}}}_{1}\to {{\mathscr{F}}}_{2}\) heißt pseudosphärisch, wenn die Länge des Verbindungsvektors \(|P\overrightarrow{l}(P)|\) und der Winkel, den die Flächennormalen von \({{\mathscr{F}}}_{1}\) und \({{\mathscr{F}}}_{1}\) in den Punkten P bzw. l(P) einschließen, nicht von P abhängen.

Pseudosphärische Kongruenzen stehen in engem Zusammenhang mit Flächen konstanter negativer Krümmung des ℝ³, sogenannten Pseudosphären.

Es gelten die folgenden Bäcklundschen Sätze:

Die Brennflächen einer peudosphärischen Kongruenz haben konstante negative Gaußsche Krümmung.

Ist umgekehrt eine Fläche \({\mathscr{F}}\)konstanter negativer Gaußscher Krümmung k₀ < 0 gegeben, so existieren eine einparametrische Schar \({{\mathscr{F}}}_{\lambda }\)von Flächen derselben konstanten Krümmung und eine Schar \({l}_{\lambda }:{\mathscr{F}}\to {{\mathscr{F}}}_{\lambda }\)pseudosphärischer Kongruenzen.

Eine parametrische Beschreibung eines Strahlensystems \({\mathscr{S}}\) erhält man durch Wahl eines Punktes P(u, υ) und eines Richtungsvektors 𝔢(u, υ) der Länge 1 auf jeder Geraden. Die beiden Abbildungen P, 𝔢 : ℝ² → ℝ³ werden als differenzierbar vorausgesetzt. Kummer hat die beiden nach ihm benannten Fundamentalformen \begin{eqnarray}{I}_{K}=\left(\begin{array}{cc}{E}_{K} & {F}_{K}\\ {F}_{K} & {G}_{K}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{P}_{u}\cdot {P}_{u} & {P}_{u}\cdot {P}_{v}\\ {P}_{v}\cdot {P}_{u} & {P}_{v}\cdot {P}_{v}\end{array}\right)\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}I{I}_{K}=\left(\begin{array}{cc}{L}_{K} & {{M}^{^{\prime} }}_{K}\\ {{M}^{^{\prime\prime} }}_{K} & {N}_{K}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{P}_{u}\cdot {{\mathfrak{r}}}_{u} & {P}_{u}\cdot {{\mathfrak{r}}}_{v}\\ {P}_{v}\cdot {{\mathfrak{r}}}_{u} & {P}_{v}\cdot {{\mathfrak{r}}}_{v}\end{array}\right)\end{eqnarray}

eingeführt, die eine gewisse Verwndtschaft zur ersten und zweiten Fundamentalform der Flächentheorie haben. Beispielsweise lassen sich mit Ihrer Hilfe Normalensysteme durch die Gleichung \({M}_{K}^{^{\prime} }={M}_{K}^{^{\prime\prime} }\) charakterisieren. Aus dieser Beziehung leitet man den für die Geometrische Optik wichtigen Satz von Malus-Dupin her:

Erleidet ein Normalensystem eine Brechung oder Reflektion an einer regulären Fläche, so bleibt es stets ein Normalensystem.

Die Fundamentalformen von Kummer bestimmen ein Strahlensystem \({\mathscr{S}}\) nicht eindeutig bis auf Kongruenz. Bessere Eigenschaften haben die Grundformen von Sannia: Man betrachte \({\mathscr{S}}\) als 2-dimensionale Fläche in \({S}_{\text{D}}^{2}\subset {\text{D}}^{3}\) mit einer Parameterdarstellung \begin{eqnarray}{\mathfrak{A}}(u,\upsilon )=a(u,v)+\varepsilon b(u,v)\end{eqnarray}

und bilde in Analogie zur ersten Gaußschen Fundamentalform die dualen Zahlen E_𝔻 = 𝔄_u · 𝔄_v, F_𝔻 = 𝔄_u · 𝔄_v und G_𝔻 = 𝔄_v · 𝔄_u. Real- und Dualteil dieser Größen bilden die erste bzw. zweite Grund-form von Sannia. Für die Untersuchung von Strahlensystemen haben sie ähnliche Bedeutung, wie die erste und die zweite Gaußsche Fundamentalform für die Flächentheorie.

Literatur

[1] Blaschke, W,: Vorlesungen über Differentialgeometrie, Band I: Elementare Differentialgeometrie, 4.Auflage. Springer-Verlag Berlin, 1945.

[2] Kommerell, V. ; Kommerell, K.: Spezielle Flächen und Theorie der Strahlensysteme. G. J. Göschen’sche Verlagshandlung Leipzig, 1913.

[3] Zindler, K.: Liniengeometrie mit Anwendungen Bd. I u. II. G.J. Göschen’sche Verlagshandlung Leipzig, 1906.