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Lexikon der Mathematik: differentielle Invariante

in der klassischen Differentialgeometrie eine Funktion \({\mathscr{I}}(P)\) der Punkte P einer Fläche \({\mathscr{F}}\) oder Kurve C, die durch fest definierte algebraische (wie Addition oder Multiplikation) oder allgemeinere Operationen aus den Ableitungen der Koordinatenfunktionen von \({\mathscr{F}}\) bzw. C gebildet wird, und weder von der jeweiligen Parameterdarstellung noch von der Lage im Raum abhängt.

Ist q : ℝ3 → ℝ3 eine beliebige Euklidische Bewegung, und drückt man die Abhängigkeit der Invariante von der Fläche durch Anhängen eines Indexes in der Form \({{\mathscr{I}}}_{F}(P)\) aus, so soll \begin{eqnarray}{{\mathscr{I}}}_{F}(P)={{\mathscr{I}}}_{q(F)}(q(P))\end{eqnarray}

für alle Flächen \({\mathscr{F}}\) und alle Punkte PF gelten. Sind ferner (ξ(u, v), η(u, v), η(u, v)) die Koordinaten einer Parameterdarstellung von \({\mathscr{F}}\), so hat \({{\mathscr{I}}}_{F}(P)\) die Form \begin{eqnarray}{I}_{F}=F(\xi, \eta, \zeta, {\xi }_{u},{\eta }_{u},{\zeta }_{u},{\xi }_{v},{\eta }_{v},{\zeta }_{v},{\xi }_{uu},{\xi }_{uv},\ldots )\end{eqnarray}

mit einer gewissen differenzierbaren Funktion \({\mathscr{F}}\) der Ableitungen von ξ, η und ζ. Die Forderung der Invarianz gegenüber Koordinatentransformationen besteht also in der Bedingung \begin{array}{l}F(\xi, \eta, \zeta, {\xi }_{u},{\eta }_{u},{\zeta }_{u},{\xi }_{v},{\eta }_{v},{\zeta }_{v},{\xi }_{uu},{\xi }_{uv},\ldots )\\ =F({\xi }^{^{\prime} },{\eta }^{^{\prime} },{\zeta }^{^{\prime} },{{\xi }^{^{\prime} }}_{u},{{\eta }^{^{\prime} }}_{u},{{\zeta }^{^{\prime} }}_{u},{{\xi }^{^{\prime} }}_{v},{{\eta }^{^{\prime} }}_{v},{{\zeta }^{^{\prime} }}_{v},{{\xi }^{^{\prime} }}_{uu},{{\xi }^{^{\prime} }}_{uv},\ldots ),\end{array}

wenn (ξ`, η`, ζ`) ein zweites reguläres Koordinaten-system von \({\mathscr{F}}\) ist.

Ähnlich werden die Invarianzbedingungen für differentielle Invarianten von Kurven konkretisiert. Der Grad der höchsten in \({\mathscr{F}}\) auftretenden Ableitung heißt die Ordnung von \({\mathscr{I}}\).

Beispiele sind die Bogenlänge, Krümmung und Windung von Kurven.

Sind \({{\mathscr{I}}}_{1}\), \({{\mathscr{I}}}_{2}\) zwei differentielle Invarianten und ist f(i1, i2) eine beliebige differenzierbare Funktion zweier Veränderlicher, so ist auch die durch \({\mathscr{I}}(P)=f({{\mathscr{I}}}_{1}(P),{{\mathscr{I}}}_{2}(P)\) definierte zusammengesetzte Funktion eine differentielle Invariante.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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