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Lexikon der Mathematik: Differenzengruppe

die eine kommutative reguläre Halbgruppe (H, +) umfassende kommutative Gruppe (G, +, 0G) mit der Eigenschaft, daß jedes Element aus G die Differenz zweier Elemente aus H ist. Um G zu erhalten, erklärt man durch \begin{eqnarray}(a,b)\sim (c,d):\iff a+d=c+b\end{eqnarray}

eine Äquivalenzrelation auf H × H und definiert G als die Menge der Äquivalenzklassen ⟨a, b⟩ zu Paaren (a, b) ∈ H × H. Für (a1, b1) ∼ (a2, b2) und (c1, d1) ∼ (c2, d2) gilt \begin{eqnarray}({a}_{1}+{c}_{1},{b}_{1}+{d}_{1})\sim ({a}_{2}+{c}_{2},{b}_{2}+{d}_{2}),\end{eqnarray}

d. h. die Definition \begin{eqnarray}\langle a,b\rangle +\langle c,d\rangle :=\langle a+c,b+d\rangle \end{eqnarray}

ist sinnvoll. Ebenso ist wegen (a, a) ∼ (b, b) für alle a, bH die Definition 0G := ⟨a, a⟩ mit einem belie-bigen aH sinnvoll. Die Abbildung + : G × GG ist kommutativ, hat 0G als neutrales Element und zu ⟨a, b⟩ ∈ G das Inverse − ⟨a, b⟩ := ⟨b, a⟩. Somit ist (G, +, 0G) eine kommutative Gruppe.

Die Abbildung \begin{eqnarray}\phi :H\nia\mapsto \langle a+a,a\rangle \in G\end{eqnarray}

bettet die Halbgruppe H in die Gruppe G ein. Für ⟨a, b⟩ ∈ G gilt ⟨a, b⟩ = φ(a) − φ(b), d. h. jedes Element aus G ist Differenz zweier Elemente aus H. Falls es in (H, +) schon ein neutrales Element 0H gibt, dann gilt (a + a, a) ∼ (a, 0H) für aH, also φ(a) = ⟨a, 0H⟩ und insbesondere φ(0H) = ⟨0H, 0H⟩ = = 0G.

Ist (H, +, 0H) sogar eine Gruppe, dann gilt φ(− a) = −φ(a) für aH, und φ ist surjektiv, d. h. die Gruppen H und G sind isomorph. Auf ähnliche Weise konstruiert man Quotientenkörper zu Integritätsringen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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