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Lexikon der Mathematik: Differenzenoperator

Operator, der auf Funktionen y : ℝ → ℝ in folgender Weise wirkt.

Sei Δx > 0 gegeben, dann definiert man rekursiv \begin{eqnarray}\Delta y(x) & := & y(x+\Delta x)-y(x)\\ {\Delta }^{n}y(x) & := & \Delta ({\Delta }^{n-1}y(x))\end{eqnarray}

Δn heißt Differenzenoperator n-ter Ordnung.

Setzt man o.B.d.A. Δx = 1, so ist \begin{eqnarray}{\Delta }^{n}y(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{n-k}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)y(x+k).\end{eqnarray}

Umgekehrt gilt \begin{eqnarray}y(x+n)=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)y(x+k).\end{eqnarray}

Manchmal bezeichnet man den hier definierten Operator Δ auch als Vorwärtsdifferenzenoperator, um ihn sprachlich zu unterscheiden vom sog. Rückwärtsdifferenzenoperator, der die obige Definition für negative Werte von Δx erfüllt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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