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Lexikon der Mathematik: Differenzenquotient

für eine Funktion f, die mindestens in den Punkten x und a definiert ist,der Ausdruck \begin{eqnarray}{Q}_{f}(a,x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\end{eqnarray}

Meist setzt man natürlich voraus, daß f eine auf einer Teilmenge D von ℝ oder ℂ definierte ℝ- oder ℂ-wertige Funktion ist und a, xD.

Der Operator \begin{eqnarray}{Q}_{f}:{D}^{2}\backslash \{(x,x):x\in D\}\to {\mathbb{R}}\text{ bzw}.\text{}\ \to {\rm{{\mathbb{C}}}}\end{eqnarray}

kann benutzt werden zur Definition der Ableitung von f: Die Funktion f ist an der Stelle a ∈ int D differenzierbar (mit der Ableitung f′(a) ∈ ℝ bzw. ∈ ℂ) genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to a}{Q}_{f}(a,x)=:{f}^{^{\prime} }(a)\end{eqnarray}

existiert.

Für eine Funktion f : D → ℝ, wobei D ⊂ ℝ, ist Qf (a, x) gerade die Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (x, f(x)).

Ferner läßt sich im reellen Fall mit Qf ein hand-liches Kriterium für die Monotonie von f angeben: f ist isoton bzw. antiton genau dann, wenn Qf ≥ 0 bzw. ≤ 0. Falls Qf beide Vorzeichen annimmt, ist f also nicht monoton auf D.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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