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Lexikon der Mathematik: Differenzenverfahren, explizites

spezieller Typ eines Differenzenverfahrens zur näherungsweisen Lösung partieller Differentialgleichungen, bei dem sich die Werte der gesuchten Funktion in den gewählten Diskretisierungspunkten explizit aus bereits zuvor berechneten Werten ermitteln lassen.

Wählt man beispielsweise für die Differentialgleichung

\begin{eqnarray}{u}_{xx}={u}_{t}\end{eqnarray}

im Streifen 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0 die Diskretisierung

\begin{eqnarray}({x}_{i},{t}_{j}):=(ih,j\tau ),i=0,\ldots, N,j=0,1,\ldots, \end{eqnarray}

mit h = 1/N, so läßt sich die Differentialgleichung in diesen Punkten näherungsweise beschreiben durch die Differenzengleichungen

\begin{eqnarray}({u}_{i-1,j}-2{u}_{i,j}+{u}_{i+1,j})/{h}^{2}=({u}_{i,j+1}-{u}_{i,j})/\tau.\end{eqnarray}

Sind für die Zeitschicht j bereits alle u-Werte bekannt, so ist ui,j+1 die einzige Unbestimmte, woraus sich die explizte Darstellung

\begin{eqnarray}{u}_{i,j+1}={u}_{i,j}+\lambda ({u}_{i-1,j}-2{u}_{i,j}+{u}_{i+1,j})\end{eqnarray}

für i = 1,…, N − 1 mit λ := τ/h2 ergibt.

Sind Randwerte für i = 0 und i = N bzw. j = 0 vorgegeben, so lassen sich aus der expliziten Darstellung sukzessive alle gesuchten Werte für j = 1, 2,…ermitteln.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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