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Lexikon der Mathematik: Differenzenverfahren, implizites

spezieller Typ eines Differenzenverfahrens zur näherungsweisen Lösung partieller Differentialgleichungen, bei dem sich die Werte der gesuchten Funktion in den gewählten Diskretisierungspunkten im Gegensatz zum einem expliziten Differenzenverfahren nicht unmittelbar aus bereits zuvor berechneten Werten ermitteln läßt.

Wählt man beispielsweise für die Differentialgleichung

\begin{eqnarray}{u}_{xx}={u}_{t}\end{eqnarray}

im Streifen 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0 die Diskretisierung

\begin{eqnarray}({x}_{i},{t}_{j}):=(ih,j\tau ),i=0,\ldots, N,j=0,1,\ldots, \end{eqnarray}

mit h = 1/N, so läßt sich die Differentialgleichung in diesen Punkten näherungsweise beschreiben durch die Differenzengleichungen

\begin{eqnarray}-\lambda {u}_{i-1,j+1}+(2+2\lambda ){u}_{i,j+1}-\lambda {u}_{i+1,j+1}\\\,\, =\lambda {u}_{i-1,j}+(2-2\lambda ){u}_{i,j}+\lambda {u}_{i+1,j}\end{eqnarray}

mit λ := τ/h2.

Sind Randwerte für i = 0 und i = N bzw. j = 0 vorgegeben, so lassen sich aus dieser Darstellung zwar alle gesuchten Werte für j = 0, 1,…ermitteln, jedoch erfordert dies das Lösen eines linearen Gleichungssystems mit den N −1 Unbekannten ui,j+1, i = 1,…, N − 1; die Lösung kann also nicht „explizit“ ermittelt werden.

Das oben exemplarisch angegebene Verfahren nennt man Crank-Nicolson-Verfahren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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