Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Differenzenverfahren

Differenzenmethode, Differenzenschema, Vorgehensweise zur näherungsweisen Lösung gewöhnlicher oder partieller Differentialgleichungen, bei der die auftretenden Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt werden.

Nach Vorgabe von diskreten Punkten aus dem Definitionsbereich (vorzugsweise äquidistant in jeder Koordinatenrichtung) ersetzt man Differential-ausdrücke der unbekannten Funktion u an den Diskretisierungsstellen durch Differenzenausdrücke mit einem oder mehreren Nachbarpunkten. Betrachtet man die Funktionswerte an den Diskretisierungsstellen als Unbekannte, so entsteht auf diese Weise ein algebraisches Gleichungssystem für diese Unbekannten, das sich i. allg. nur numerisch lösen läßt.

Spezielle Formen der Approximation von Differentialausdrücken ∂u/∂x durch Differenzenausdrücken sind z. B. Vorwärtsdifferenzen \begin{eqnarray}{\partial }_{g}^{+}u(x):=\frac{1}{h}(u(x+h)-u(x)),\end{eqnarray}

Rückwärtsdifferenzen \begin{eqnarray}{\partial }_{h}^{-}u(x):=\frac{1}{h}(u(x)-u(x-h)),\end{eqnarray}

und zentrale Differenzen \begin{eqnarray}{\partial }_{h}^{0}u(x):=\frac{1}{2h}(u(x-h)-u(x+h))\end{eqnarray}

(Differenzenoperator).

Für höhere Ableitungen existieren entsprechende Formeln, ebenso für komplexere Differential-Operatoren wie den Laplace-Operator (Fünfpunktformel). Die Wahl der Differenzenausdrücke hängt nicht nur ab von den jeweiligen Ableitungen, sondern auch von der konkreten Problemstel-lung (z. B. Anfangswertproblem oder Randwertproblem). Desweiteren spielt die Frage der Konvergenz der diskretisierten Lösung gegen die Lösung des ursprünglichen Problems eine entscheidende Rolle, wenn man die Abstände der Diskretisierungsstellen gegen Null streben läßt. Notwendig hierfür ist die sogenannte Konsistenz, d. h. die Konvergenz der Differenzengleichungen gegen den Differential-Operator (siehe hierzu auch Äquivalenzsatz).

Je nach Gestalt der Differenzenausdrücke und der daraus resultierenden Gleichungen spricht man von expliziten oder impliziten Differenzenverfahren (Differenzenverfahren, explizites, Differenzenverfahren, implizites).

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos