Verallgemeinerung des Ableitungs- bzw. Differenzierbarkeitsbegriffs auf Mengenfunktionen.

Es sei Ω eine Menge, \({\mathscr{A}}\) ein σ-Mengenring auf Ω mit einer isotonen Folge (A_n|n ∈ ℕ) ⊆ \({\mathscr{A}}\) mit \({\cup }_{n\in {\mathbb{N}}}{A}_{n}=\omega \), und Φ ein signiertes Maß auf \({\mathscr{A}}\).

• Sei \({\mathscr{N}}={\cup }_{n\in {\mathbb{N}}}{{\mathscr{N}}}_{n}\) ein Netz auf Ω bzgl. \({\mathscr{A}}\). Φ heißt im Punkt ω ∈ Ω bzgl. \({\mathscr{N}}\) und μ differenzierbar, falls

  \begin{eqnarray}{D}_{{\mathscr{N}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{\Phi ({N}_{n}(\omega ))}{\mu ({N}_{n}(\omega ))}\end{eqnarray}

existiert, wobei N_n(ω) ∈ \({{\mathscr{N}}}_{n}\) die eindeutig bestimmte Menge ist, die ω enthält. \({D}_{{\mathscr{N}}}\Phi \) heißt die Ableitung von Φ bzgl. \({\mathscr{N}}\) und μ (de Possel, Satz von).

Es sei {ω} ∈ \({\mathscr{A}}\) mit μ({ω}) = 0 für alle ω ∈ Ω und \({\mathscr{V}}\) ein Vitali-System bzgl. \({\mathscr{A}}\). Dann heißt Φ im Punkt ω ∈ Ω bzgl. \({\mathscr{V}}\) und μ differenzierbar, falls

\begin{eqnarray}{D}_{{\mathscr{V}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{\Phi ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}{\mu ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}\end{eqnarray}

existiert, wobei V_ϵ(ω) ∈ \({\mathscr{V}}\) ist mit μ(V_ϵ(ω)) < ϵ, und ω ∈ V_ϵ(ω). Es heißt \({D}_{{\mathscr{V}}}\Phi \) die Ableitung oder gewöhnliche Ableitung von Φ bzgl. \({\mathscr{V}}\) und μ.

\begin{eqnarray}{\bar{D}}_{{\mathscr{V}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}\text {sup}}\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{\Phi ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}{\mu ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}\end{eqnarray}

heißt obere Ableitung von Φ bzgl. \({\mathscr{V}}\) und μ, oder auch gewöhnliche obere Ableitung von Φ, entsprechend

\begin{eqnarray}{\hat{D}}_{{\mathscr{V}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}\text {inf}}\limits_{\varepsilon \to 0}\frac{\Phi ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}{\mu ({V}_{\varepsilon }(\omega ))}\end{eqnarray}

untere Ableitung von Φ bzgl. \({\mathscr{V}}\) und μ oder gewöhnliche untere Ableitung von Φ.

Φ heißt bzgl. \({\mathscr{A}}\) und μ in ω differenzierbar, falls

\begin{eqnarray}{D}_{{\mathscr{A}}}\Phi (\omega ):=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{\Phi ({A}_{n})}{\mu ({A}_{n})}\end{eqnarray}

existiert, wobei (A_n|n ∈ ℕ) ⊆ \({\mathscr{A}}\) eine gegen ω regulär konvergente Mengenfolge ist. \({D}_{{\mathscr{A}}}\Phi \) heißt die Ableitung von Φ bzgl. A und μ.

Falls (A_n|n ∈ ℕ) ⊆ \({\mathscr{A}}\) regulär konvergent gegen ω₀ ∈ Ω ist und ω₀ Lebesgue-Punkt einer bzgl. \({\mathscr{A}}\) und μ integrierbaren Funktion φ ist, gilt

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{\mu ({A}_{n})}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{A}_{n}}\varphi (\omega )d\mu (\omega )=\varphi ({\omega }_{0}).\end{eqnarray}

Mit Φ : \({\mathscr{A}}\) → ℝ, definiert durch

\begin{eqnarray}\Phi (A):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{A}\varphi (\omega )d\mu (\omega ),\end{eqnarray}

gilt für die Ableitung \({D}_{{\mathscr{A}}}\Phi \) von Φ bzgl. \({\mathscr{A}}\)

\begin{eqnarray}{D}_{{\mathscr{A}}}\Phi ({\omega }_{0})=\varphi ({\omega }_{0})\end{eqnarray}

an jedem Lebesgue-Punkt von ω₀ von ϕ.

Ist Φ bzgl. μ ein absolut stetiges signiertes Maß, so stimmen alle drei Ableitungen μ-fast überall mit der Radon-Nikodym-Ableitung von Φ bzgl. μ überein.