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Lexikon der Mathematik: differenzierbarer stochastischer Prozeß

stochastischer Prozeß mit einer wichtigen zusätzlichen Eigenschaft.

Der Begriff der Differenzierbarkeit kann für einen reellen stochastischen Prozeß (Xt)tT auf verschiedene Arten definiert werden. Wir beschränken uns hier der Einfachheit halber auf Prozesse mit T = ℝ und E(Xt) ≡ 0 für alle tT.

  1. Fast sichere Differenzierbarkeit: Der Prozeß (Xt)tT heißt fast sicher differenzierbar in t0T (bzw. in T), wenn fast alle seine Pfade in t0 (bzw. in T) differenzierbar sind.
  2. Differenzierbarkeit im quadratischen Mittel: Ein Prozeß (Xt)tT mit E(|Xt|2) < ∞ für alle t ∈ T heißt im Punkt t0T im quadratischen Mittel differenzierbar, falls eine Zufallsvariable \({{X}^{^{\prime} }}_{{t}_{0}}\) existiert, für die

    \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{t\to {t}_{0}}E({|\frac{{X}_{t}-{X}_{{t}_{0}}}{t-{t}_{0}}-{X}_{{t}_{0}}^{^{\prime} }|}^{2})=0\end{eqnarray}

    gilt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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