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Lexikon der Mathematik: differenzierbarer Weg

ein Weg γ : [a, b] → ℂ mit einer Parameterdarstellung

\begin{eqnarray}t\mapsto \gamma (t)=x(t)+iy(t)\end{eqnarray}

derart, daß x, y: [a, b] → ℝ differenzierbare Funktionen sind.

Man setzt dann γ′(t) := x′(t) + iy′(t). Sind zusätzlich x′, y′ : [a, b] → ℝ stetige Funktionen, so heißt γ ein stetig differenzierbarer Weg. Gilt außerdem γ′(t) ≠ 0 für alle t ∈ [a, b], so heißt γ ein glatter Weg.

Der Weg γ heißt stückweise stetig differenzierbar, falls es Punkte a1, a2,…, am+1 mit

\begin{eqnarray}a={a}_{1}\lt {a}_{2}\lt \mathrm{\ldots }\lt {a}_{m}\lt {a}_{m+1}=b\end{eqnarray}

gibt derart, daß

\begin{eqnarray}{\gamma }_{\mu }:\gamma |[{a}_{\mu },{a}_{\mu +1}],\mu =1,\mathrm{\ldots },m\end{eqnarray}

stetig differenzierbar ist.

Beispiele für stetig differenzierbare Wege:

(a) Nullweg: γ ist eine konstante Funktion.

(b) Strecke von z0 ∈ ℂ nach z1 ∈ ℂ:

\begin{eqnarray}\gamma :[0,1]\to {\mathbb{C}}\text{mit}\\ \gamma (t)=(1-t){z}_{0}+t{z}_{1}.\end{eqnarray}

(c) Kreisbogen auf dem Rand der Kreisscheibe Br(z0) mit Mittelpunkt z0 ∈ ℂ und Radius r > 0: γ : [a, b] → ℂ mit

\begin{eqnarray}\gamma (t)={z}_{0}+r{e}^{it},\end{eqnarray}

wobei 0 ≤ a < b ≤ 2π.

Jeder Polygonzug ist ein stückweise stetig differenzierbarer Weg, und jeder stückweise stetig differenzierbare Weg ist rektifizierbar, d. h. hat eine endliche Länge.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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