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Lexikon der Mathematik: Dimensionssatz für lineare Abbildungen

Bezeichnung für den folgenden Satz zur Berechnung der Dimension eines endlich-dimensionalen Vektorraumes V über \({\mathbb{K}}\) mittels Kern und Bild einer linearen Abbildung f : VU in den \({\mathbb{K}}\)-Vektorraum U. Es gilt

\begin{eqnarray}\text{dim }V=\dim (\mathrm{Im}f)+\dim (\text{Ker }f).\end{eqnarray}

Genauer ist dies wie folgt zu beschreiben:

Ist

\begin{eqnarray}({u}_{1},\mathrm{\ldots },{u}_{m})=:(f({\upsilon }_{1}),\mathrm{\ldots },f({\upsilon }_{m}))\end{eqnarray}

eine Basis von Im f, und \(({{\upsilon }^{^{\prime} }}_{1},\ldots, {{\upsilon }^{^{\prime} }}_{k})\)eine Basis von Ker f, so ist

\begin{eqnarray}({\upsilon }_{1},\ldots, {\upsilon }_{m},{{\upsilon }^{^{\prime} }}_{1},\ldots, {{\upsilon }^{^{\prime} }}_{k})\end{eqnarray}

eine Basis von V.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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