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Lexikon der Mathematik: Dinis Konvergenztest

liefert ein Kriterium, mit dem sich der Wert einer Fourier-Reihe punktweise ermitteln läßt:

Sei f : ℝ ↠ ℂ eine auf [−π, π] Lebesgue-integrier-bare 2π-periodische Funktion. Mit den Fourierkoeffizienten

\begin{eqnarray}{c}_{n}={(2\pi )}^{-1}\displaystyle \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t){e}^{-int}dt\end{eqnarray}

bezeichne

\begin{eqnarray}{s}_{N}f(x)=\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}{c}_{n}{e}^{inx}\end{eqnarray}

die N-te symmetrische Partialsumme der Fourier-entwicklung von f.

Sei x ∈ [−π, π). Gilt für ein s ∈ ℂ und ein δ > 0

\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\delta }{\int }}\frac{|f(x+y)+f(x-y)-2s|}{y}dy\lt \infty, \end{eqnarray}

so folgt \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{N\to \infty }{s}_{N}f(x)=s\).

Diese sog. Dini-Bedingung ist insbesondere für eine in x differenzierbare Funktion mit s = f(x) erfüllt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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