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Lexikon der Mathematik: diophantische Gleichung

eine Gleichung, deren eventuelle Lösungen in den ganzen oder in den rationalen Zahlen gefunden werden sollen.

Ist die Gleichung durch ein Polynom (in einer oder mehreren Unbestimmten) gegeben, so spricht man von einer polynomialen diophantischen Gleichung; typische Beipiele sind etwa die Darstellung einer Zahl p als Summe zweier Quadrate

\begin{eqnarray}{x}^{2}+{y}^{2}=p,\end{eqnarray}

die Bachetsche Gleichung

\begin{eqnarray}{x}^{3}-{y}^{2}=c,\end{eqnarray}

oder die Fermatsche Gleichung

\begin{eqnarray}{x}^{n}-{y}^{n}={z}^{n}\end{eqnarray}

mit festem Exponenten n. Stehen ein oder mehrere Unbekannte im Exponenten, wie etwa bei der Catalanschen Gleichung

\begin{eqnarray}{x}^{m}-{y}^{n}=1,\end{eqnarray}

so spricht man von einer exponentiell diophantischen Gleichung.

Diophant behandelte in seinem Buch „Arithmetika“ – anhand von Beispielen – ziemlich weitgehende Methoden zur Lösung gewisser diophantischer Gleichungen. Dabei kamen bei ihm Polynome in mehreren Unbestimmten bis zum vierten Grad vor.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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