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Lexikon der Mathematik: direkte Summe von Teilräumen

eine Summe von Teilräumen, bei der die Summenbildung eindeutig ist.

Es seien V ein Vektorraum und U1,…,Un Teilräume von V. Dann versteht man unter der Summe der Teilräume U1,…,Un den Teilraum U = U1 + U2 + ⋯ + Un = {xV|x = x1 + x2 + ⋯ + xn, xiUi}. Die Summe der Teilräume heißt direkte Summe, falls für jedes xU1 + U2 + ⋯ + Un die Darstellung als Summe von Elementen aus den Ui eindeutig ist, das heißt, wenn aus x1 + ⋯ + xn = y1 + ⋯ + yn mit xi, yiUi stets folgt: xi = yi für i = 1, …, n. Man schreibt dann

\begin{eqnarray}U=\underset{i=1}{\overset{n}{\oplus }}{U}_{i}.\end{eqnarray}

Ein Vektorraum W mit V = UW heißt direktes Komplement (in V) von U. In einem endlichdimensionalen Vektorraum V besitzt jeder Unterraum U ein direktes Komplement.

Eine wichtige Verwendung direkter Summen von Teilräumen findet man bei der Betrachtung von Eigenräumen einer Matrix. Sind nämlich λ1,…, λm paarweise verschiedene Eigenwerte einer Matrix und bezeichnet man die zugehörigen Eigenräume mit E1, …, Em, so ist die Summe aus diesen Eigenräumen eine direkte Summe.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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