Randwertproblem aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, das eine Lösung in geschlossener Form besitzt.

Das Problem lautet: Gegeben sei eine stetige Funktion f: ∂B_R(0) → ℝ, wobei B_R(0) die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt 0 und Radius R > 0 ist.

Gesucht ist eine stetige Funktion \(u:\overline{{B}_{R}(0)}\to {\mathbb{R}}\), die in B_R(0) harmonisch ist (d. h. Δu = 0 in B_R(0)) und u|∂B_R(0) = f erfüllt. Man nennt u dann auch eine Potentialfunktion.

Dieses Problem ist eindeutig lösbar, und die Lösung u ist gegeben durch die Poissonsche Integralformel

\begin{eqnarray}u(z)=\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{P}_{R}(\zeta, z)f(\zeta )\,d\vartheta, \,\,\,\,\,z\in {B}_{R}(0).\end{eqnarray}

Dabei ist ζ = Re^iϑ und P_R(ζ, z) der reelle Poisson-Kern, d. h.

\begin{eqnarray}{P}_{R}(\zeta, z)=\displaystyle\frac{1}{2\pi }\displaystyle\frac{{R}^{2}-|z{|}^{2}}{|\zeta -z{|}^{2}}=\displaystyle\frac{1}{2\pi }\mathrm{Re}\displaystyle\frac{\zeta +z}{\zeta -z}.\end{eqnarray}

Schreibt man z = re^it mit 0 ≤ r < R, so hat der Kern die Gestalt

\begin{eqnarray}{P}_{R}(\zeta, z)=\displaystyle\frac{1}{2\pi }\displaystyle\frac{{R}^{2} – {r}^{2}}{{R}^{2} – 2Rr\,\cos \,(\vartheta – t) + {r}^{2}}.\end{eqnarray}

Damit kann also von den Randwerten einer harmonischen Funktion auf die Werte im Inneren des Kreises geschlossen werden. Diese Darstellung der Lösungsfunktion liefert dann einen Lösungsansatz für einfach zusammenhängende Gebiete G, da man G unter Verwendung des Riemannschen Abbildungssatzes auf den Einheitskreis abbilden und dann die Lösung für den Einheitskreis zurücktransformieren kann (Dirichlet-Problem in der Ebene).