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Lexikon der Mathematik: Dirichlet-Problem in der Ebene

lautet: Gegeben sei ein Gebiet G ⊂ ℂ und eine stetige Funktion

\begin{eqnarray}f:{\partial }_{\infty }G\to {\mathbb{R}}.\end{eqnarray}

Gesucht ist eine stetige Funktion

\begin{eqnarray}u\,:\,G\,\cup {\partial }_{\infty }G\,\to \,{\mathbb{R}},\end{eqnarray}

die in G harmonisch ist und u(z) = f(z) für alle z ∈ ∂G erfüllt. Dabei ist ∂G := ∂G, falls G beschränkt und ∂G := ∂G ∪ {∞}, falls G unbeschränkt ist.

Falls eine solche Funktion u existiert, so ist sie eindeutig bestimmt. Dieses Problem ist aber nicht immer lösbar, wie man an dem Beispiel

\begin{eqnarray}G=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt \,|z|\,\lt 1\},\end{eqnarray}

f (z) = 1 für |z| = 1 und f(z) = 0 für z = 0 sieht.

Ist G ein Gebiet derart, daß das Dirichlet-Problem für jede stetige Funktion f: ∂G → ℝ lösbar ist, so nennt man G ein Dirichlet-Gebiet. Ein Gebiet G ist ein Dirichlet-Gebiet, falls das Komplement \(\widehat{{\mathbb{C}}}\backslash G\) von G in \(\widehat{{\mathbb{C}}}\) keine nur aus einem Punkt bestehende Zusammenhangskomponente besitzt. Insbesondere ist jedes einfach zusammenhängende Gebiet ein Dirichlet-Gebiet.

Im Spezialfall \(G={\mathbb{E}}={B}_{1}(0)=\{z\in {\mathbb{C}}\,:\,|z|\,\lt 1\}\) gibt es eine explizite Lösungsformel; siehe hierzu Dirichlet-Problem für die Kreisscheibe. Diese Formel und die Theorie der konformen Abbildungen kann man dazu benutzen, um das Dirichlet-Problem für ein einfach zusammenhängendes Gebiet G, dessen Rand ∂G eine Jordan-Kurve ist, explizit zu lösen.

Dazu sei φ eine konforme Abbildung von \({\mathbb{E}}\) auf G. Da ∂G eine Jordankurve ist, kann man φ zu einem Homöomorphismus von \(\overline{{\mathbb{E}}}\) auf \(\overline{G}\) fortsetzen. Dann löst man das Dirichlet-Problem für \({\mathbb{E}}\) mit der Randfunktion g = fφ, d. h. man bestimmt eine in \(\overline{{\mathbb{E}}}\) stetige und in \({\mathbb{E}}\) harmonische Funktion v mit v(w) = g(w) für |w| = 1. Schließlich ist u = vφ−1 die Lösung des Dirichlet-Problems für G mit der Randfunktion f. Für dieses Verfahren ist jedoch Voraussetzung, daß man die konforme Abbildung φ und deren Umkehrabbildung φ−1 explizit kennt.

Das Dirichlet-Problem spielt eine wichtige Rolle für die Existenz der Greenschen Funktion.

Neben stetigen Randfunktionen f: ∂G → ℝ können auch unstetige Funktionen zugelassen werden. Dann ist die Lösungstheorie jedoch komplizierter.

Man kann das Dirichlet-Problem ebenfalls im n-dimensionalen Raum ℝn, n ∈ ℕ betrachten. Allerdings sind für n ≥ 3 keine funktionentheoretischen Methoden mehr anwendbar.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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