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Lexikon der Mathematik: Dirichlet-Randwertproblem

in moderner Sprechweise auch einfach Dirichlet-Problem genannt, Problem der Fortsetzung einer Funktion vom Rand eines Gebiets auf das Gebiet selbst.

Es sei G ⊆ ℂ ein Gebiet, dessen Rand δG aus einer endlichen Zahl geschlossener Jordankurven ohne gemeinsame Punkte besteht. Weiterhin sei eine Funktion u : δG → ℝ gegeben, die auf δG\M stetig ist, wobei M eine höchstens abzählbare Menge ist. Das Dirichlet-Randwertproblem besteht darin, eine auf G harmonische Funktion zu finden, die auf \(\overline{G}\backslash{M}\) stetig ist und auf δG\M mit u übereinstimmt. Das Dirichlet-Randwertproblem besitzt genau eine beschränkte Lösung, falls die gegebene Funktion u beschränkt ist.

Im einfachsten Fall ist G ein Kreis vom Radius R > 0 mit dem Mittelpunkt z0; man nennt dies das Dirichlet-Problem für die Kreisscheibe. Etwas weiter gefaßt ist das Dirichlet-Problem in der Ebene.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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