eine Reihe der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{e}^{-{\lambda }_{n}s},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{\lambda }_{1}\lt {\lambda }_{2}\lt \ldots \to \infty, \end{eqnarray}

Im Fall λ_n = n wird (1) zur Potenzreihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n},\,\,\,\text{mit}\,\,\,\,z={e}^{-s},\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{s}}.\end{eqnarray}

Zu jeder Dirichlet-Reihe gib es eine Konvergenz-abszisse σ₀ ∈ [−∞, ∞] derart, daß die Reihe (1) für alle s ∈ ℂ mit Realteil > σ₀ konvergiert und für alle s mit Realteil < σ₀ divergiert; auf der Geraden

\begin{eqnarray}\{s\in {\mathbb{C}}:\mathrm{Re}(s)={\sigma }_{0}\}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}K\subset \{s\in {\mathbb{C}}:\mathrm{Re}(s)\gt {\sigma }_{0}\}.\end{eqnarray}

Konvergiert die Reihe (1) für alle s ∈ ℂ, so setzt man σ₀ = −∞, konvergiert sie für keine Zahl s ∈ ℂ, so setzt man σ₀ = ∞.

Ist die Reihe \(\displaystyle \sum {a}_{n}\) divergent, so ist die Konvergenzabszisse der Dirichlet-Reihe (1) durch folgende Formel gegeben:

\begin{eqnarray}{\sigma }_{0}=\mathop{\mathrm{lim}\,\sup }\limits_{n\to \infty }\frac{\mathrm{log}|{a}_{1} + \ldots + {a}_{n}|}{{\lambda }_{n}};\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{\sigma }_{0}=\mathop{\mathrm{lim}\,\sup }\limits_{n\to \infty }\frac{1}{{\lambda }_{n}}\mathrm{log}\left|\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }{a}_{k}\right|.\end{eqnarray}