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Lexikon der Mathematik: Dirichlet-Reihe

eine Reihe der Form

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{e}^{-{\lambda }_{n}s},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{eqnarray}

wobei die Koeffizienten an beliebige komplexe Zahlen, die λn reelle Zahlen mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}{\lambda }_{1}\lt {\lambda }_{2}\lt \ldots \to \infty, \end{eqnarray}

und s die komplexe Variable bezeichnen.

Im Fall λn = n wird (1) zur Potenzreihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}{z}^{n},\,\,\,\text{mit}\,\,\,\,z={e}^{-s},\end{eqnarray}

im Fall λn = log n erhält man eine gewöhnliche Dirichlet-Reihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{{n}^{s}}.\end{eqnarray}

Zu jeder Dirichlet-Reihe gib es eine Konvergenz-abszisse σ0 ∈ [−∞, ∞] derart, daß die Reihe (1) für alle s ∈ ℂ mit Realteil > σ0 konvergiert und für alle s mit Realteil < σ0 divergiert; auf der Geraden

\begin{eqnarray}\{s\in {\mathbb{C}}:\mathrm{Re}(s)={\sigma }_{0}\}\end{eqnarray}

ist keine allgemeine Konvergenzaussage möglich. Die Konvergenz ist jeweils gleichmäßig auf kompakten Mengen

\begin{eqnarray}K\subset \{s\in {\mathbb{C}}:\mathrm{Re}(s)\gt {\sigma }_{0}\}.\end{eqnarray}

Konvergiert die Reihe (1) für alle s ∈ ℂ, so setzt man σ0 = −∞, konvergiert sie für keine Zahl s ∈ ℂ, so setzt man σ0 = ∞.

Ist die Reihe \(\displaystyle \sum {a}_{n}\) divergent, so ist die Konvergenzabszisse der Dirichlet-Reihe (1) durch folgende Formel gegeben:

\begin{eqnarray}{\sigma }_{0}=\mathop{\mathrm{lim}\,\sup }\limits_{n\to \infty }\frac{\mathrm{log}|{a}_{1} + \ldots + {a}_{n}|}{{\lambda }_{n}};\end{eqnarray}

falls \(\displaystyle \sum {a}_{n}\) konvergiert, hat man die Formel

\begin{eqnarray}{\sigma }_{0}=\mathop{\mathrm{lim}\,\sup }\limits_{n\to \infty }\frac{1}{{\lambda }_{n}}\mathrm{log}\left|\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }{a}_{k}\right|.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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