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Lexikon der Mathematik: Dirichletsche Formeln

Aussagen über den Differentialoperator, wie er etwa im Sturm-Liou-villeschen Randwertproblem auftaucht.

Seien n ∈ ℕ, rk, sk ∈ ℕ0, I ⊂ ℝ ein Intervall und ak : I → ℝ sowohl rk-mal als auch sk-mal differenzierbar für alle k ∈ {0,…, n}. Für den Differentialoperator L, definiert durch

\begin{eqnarray}Ly:=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\left[{a}_{k}(x){y}^{({r}_{k})}\right]}^{({s}_{k})},\end{eqnarray}

sowie für \(\mathop{\max }\limits_{k\in \{0,\ldots n\}}\{({r}_{k}+{s}_{k})\}\)-mal differenzierbare Funktionen u, v ergibt sich durch partielle Integration die Dirichletsche Formel

\begin{eqnarray}\displaystyle \int v\,Lu\,dx=\displaystyle \int \displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1){a}_{k}(x){u}^{({r}_{k})}{v}^{({s}_{k})}dx+R[u, v].\end{eqnarray}

Dabei ist

\begin{eqnarray}R[u,\,v]:=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\displaystyle \sum _{p,q\\ p+q={s}_{k}-1}{(-1)}^{p}{({a}_{k}{u}^{({r}_{k})})}^{(q)}{v}^{(p)}.\end{eqnarray}

Einen entsprechenden Ausdruck erhält man auch für ∫ uL*vdx, wobei L* der zu L adjungierte Operator ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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