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Lexikon der Mathematik: Dirichletsche L-Reihe

spezielle Dirichlet-Reihe der Form

\begin{eqnarray}L(s,\chi )=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{{n}^{s}},\end{eqnarray}

wobei s eine geeignete komplexe Zahl und χ ein Charakter modulo m ist.

Die Funktion sL(s, χ) nennt man auch Dirichletsche L-Funktion, eine Verallgemeinerung der Riemannschen ζ-Funktion, denn mit dem Hauptcharakter χ0 ≡ 1 gilt

\begin{eqnarray}L(s,{\chi }_{0})=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{s}}=\zeta (s).\end{eqnarray}

Falls χ nicht der Hauptcharakter ist, kann man zeigen, daß die Dirichletsche L-Reihe für jede komplexe Zahl s mit Realteil > 0 konvergiert.

Die erste Anwendung der Dirichletschen L-Reihen war der Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes.

Die Werte von L(s, χ), wobei χ die Charaktere modulo m durchläuft, hängen eng mit der Verteilung der Primzahlen in den Restklassen modulo m zusammen. Nähere Analysen hierzu gehören zu den schwierigeren Problemen der analytischen Zahlentheorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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