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Lexikon der Mathematik: Dirichletscher Approximationssatz

ein Satz über die Approximation beliebiger reeller Zahlen durch rationale Zahlen (Brüche):

Seien ξ ∈ ℝ und Q ∈ ℕ mit Q ≥ 2. Dann gibt es p, q ∈ ℤ mit 1 ≤ q < Q und

\begin{eqnarray}\left|\xi -\displaystyle\frac{p}{q}\right|\le \displaystyle\frac{1}{qQ}\lt \displaystyle\frac{1}{{q}^{2}}.\end{eqnarray}

Ist ξ ∈ ℝ irrational, so existieren unendlich viele verschiedenen Paare (p, q) von teilerfremden ganzen Zahlen mit q > 0 und der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\left|\xi -\displaystyle\frac{p}{q}\right|\lt \displaystyle\frac{1}{{q}^{2}}.\end{eqnarray}

Das wesentliche Argument zum Beweis dieses Satzes ist eine schöne Anwendung des Dirichletschen Schubfachprinzips und soll hier kurz geschildert werden.

Es bezeichne zunächst

\begin{eqnarray}\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor \end{eqnarray}

den gebrochenen Anteil einer reellen Zahl x. Die Q + 1 Zahlen

\begin{eqnarray}0,\,\{\xi \},\,\{2\xi \},\ldots, \{Q\xi \} (1)\end{eqnarray}

liegen dann alle im halboffenen Intervall [0, 1). Verteilt man sie auf die Q „Schubfächer“

\begin{eqnarray}\left[\displaystyle\frac{s}{Q},\displaystyle\frac{s+1}{Q}\right),\,\,s=0,\ldots, Q-1,\end{eqnarray}

so müssen wenigstens zwei Zahlen {q1ξ} und {q2ξ}, mit q1q2, ins gleiche Schubfach fallen. Daraus folgt

\begin{eqnarray}|\{{q}_{1}\xi \}-\{{q}_{2}\xi \}|\,\lt \frac{1}{Q},\end{eqnarray}

woraus sich der Dirichletsche Approximationssatz ableiten läßt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Dirichletscher Approximationssatz
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Die Zahlen (1) in den „Schubfächern“ (2) für Q = 7 und \(\xi =\sqrt{5}\).

In Dirichlets Werken findet sich eine allgemeinere Variante, die sich auf simultane Approximation mehrerer reeller Zahlen bezieht:

Gegeben seien reelle Zahlen ξ1, …, ξk.

Dann hat das System von Ungleichungen

\begin{eqnarray}\left|\displaystyle\frac{{p}_{i}}{q}-{\xi }_{i}\right|\lt \displaystyle\frac{1}{{p}^{1+\mu }},\,\,\,\mu = \displaystyle\frac{1}{k},\,i=1,\ldots, k,\end{eqnarray}

wenigstens eine Lösung bestehend aus ganzen Zahlen p1, …, pk, q mit q > 0.

Ist wenigstens eine der ξi irrational, so hat das Ungleichungssystem (3) unendlich viele Lösungen.

Der Dirichletsche Approximationssatz kann als Urahn einiger weitreichender Präzisierungen und Verschärfungen betrachtet werden, beispielsweise der Approximationssatz von Liouville oder der Satz von Thue-Siegel-Roth.

Der zweite Teil des Dirichletschen Approximationssatzes läßt sich zu einem notwendigen und hinreichenden Irrationalitätskriterium erweitern:

Eine reelle Zahl α ist genau dann irrational, wenn unendlich viele verschiedenen Paare (p, q) von teilerfremden ganzen Zahlen mit q > 0 und der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\left|\alpha -\displaystyle\frac{p}{q}\right|\lt \displaystyle\frac{1}{{q}^{2}}\end{eqnarray}

existieren.

In der Antike gewann man gute rationale Approximationen zu gewissen Irrationalzahlen, etwa \(\sqrt{2}\), aus ganzzahligen Lösungen von Gleichungen der Form

\begin{eqnarray}{X}^{2}-d{Y}^{2}=1\end{eqnarray}

für kleine Werte von d, etwa d = 2.

Eine Gleichung der Form (4) wird heute Pellsche Gleichung genannt.

Heutzutage ist der Dirichletsche Approximationssatz – in logischer und in didaktischer Hinsicht – eine gute Vorbereitung zur Bestimmung der Lösungsstruktur der allgemeinen Pellschen Gleichung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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