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Lexikon der Mathematik: Dirichletscher Einheitensatz

ein Struktursatz über die multiplikative Gruppe der Einheiten des Ganzheitsrings in einem algebraischen Zahlkörper:

Seien K ein algebraischer Zahlkörper vom Grad n, μ(K) die endliche zyklische Gruppe der in K gelegenen Einheitswurzeln, r die Anzahl der reellen Einbettungen K → ℝ, und s die Anzahl der Paare konjugiert komplexer Einbettungen K → ℂ.

Dann ist die Einheitengruppe des Ganzheitsrings \({{\mathcal{O}}}_{K}\)von K das direkte Produkt von μ(K) mit einer freien abelschen Gruppe vom Rang r + s − 1.

Hat man eine Basis

\begin{eqnarray}\{{\varepsilon }_{1},\ldots, {\varepsilon }_{r+s-1}\}\subset {{\mathcal{O}}}_{K}^{\times }\end{eqnarray}

des freien Anteils der Einheitengruppe \({{\mathcal{O}}}_{K}^{\times }\), so nennt man die Einheiten ϵ1,…,ϵr+s−1 Grundeinheiten.

Das Bestimmen der Einheitengruppe besteht also i. allg. aus zwei Schritten: Man bestimme zunächst alle in \({{\mathcal{O}}}_{K}\) liegenden Einheitswurzeln und sodann geeignete Grundeinheiten. Man kommt so zu expliziten Beschreibungen der Einheiten imaginärquadratischer Zahlkörper und der Einheiten reell-quadratischer Zahlkörper.

Der Dirichletsche Einheitensatz zeigt, daß dieses Vorgehen bei allen algebraischen Zahlkörpern prinzipiell richtig ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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