Lexikon der Mathematik: Dirichletscher Einheitensatz
ein Struktursatz über die multiplikative Gruppe der Einheiten des Ganzheitsrings in einem algebraischen Zahlkörper:
Seien K ein algebraischer Zahlkörper vom Grad n, μ(K) die endliche zyklische Gruppe der in K gelegenen Einheitswurzeln, r die Anzahl der reellen Einbettungen K → ℝ, und s die Anzahl der Paare konjugiert komplexer Einbettungen K → ℂ.
Dann ist die Einheitengruppe des Ganzheitsrings \({{\mathcal{O}}}_{K}\)von K das direkte Produkt von μ(K) mit einer freien abelschen Gruppe vom Rang r + s − 1.
Hat man eine Basis
\begin{eqnarray}\{{\varepsilon }_{1},\ldots, {\varepsilon }_{r+s-1}\}\subset {{\mathcal{O}}}_{K}^{\times }\end{eqnarray}
des freien Anteils der Einheitengruppe \({{\mathcal{O}}}_{K}^{\times }\), so nennt man die Einheiten ϵ1,…,ϵr+s−1 Grundeinheiten.Das Bestimmen der Einheitengruppe besteht also i. allg. aus zwei Schritten: Man bestimme zunächst alle in \({{\mathcal{O}}}_{K}\) liegenden Einheitswurzeln und sodann geeignete Grundeinheiten. Man kommt so zu expliziten Beschreibungen der Einheiten imaginärquadratischer Zahlkörper und der Einheiten reell-quadratischer Zahlkörper.
Der Dirichletsche Einheitensatz zeigt, daß dieses Vorgehen bei allen algebraischen Zahlkörpern prinzipiell richtig ist.
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