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Lexikon der Mathematik: diskrete Fourier-Analyse

Teilgebiet der Numerik, das die Analyse diskreter periodischer Signale und die Berechnung von Fourier-Integralen umfaßt.

Eine Funktion f heißt L-periodisch, falls f(x + L) = f(x) für alle x ∈ ℝ und ein L > 0 gilt. Sei die auf ℝ definierte komplexwertige Funktion f L-periodisch und durch ihre Fourier-Reihe darstellbar. Durch äquidistantes Abtasten des Signals seien die N Funktionswerte \({f}_{k} = f(\displaystyle\frac{kL}{N}),\,k\,=\,0,\,1,\,\ldots, N-1\) bekannt. Die diskrete Fourier-Analyse liefert aus den gegebenen Daten f0, …, fN−1 eine Approximation der Fourier-Koeffizienten

\begin{eqnarray}{c}_{n}=\frac{1}{L}\displaystyle \underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}f(t){e}^{-2i\pi nt/L}dt\end{eqnarray}

von f für n ∈ ℤ, |n| ≤ N/2. Dafür wird das Integral in Gleichung (1) mittels der Trapezformel zu

\begin{eqnarray}{\gamma }_{n}=\frac{1}{N}\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{f}_{k}{e}^{-2i\pi nk/N}\end{eqnarray}

genähert. Es gilt γn + N = γn, sodaß lediglich die Werte γ0, …, γN − 1 interessieren. Das trigonometrische Polynom

\begin{eqnarray}p(x)=\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{\gamma }_{k}{e}^{2i\pi kx/L}\end{eqnarray}

approximiert die Fourier-Reihe von f und interpoliert die Stützstellen (kL/N, fk), d. h. p(kL/N) = fk (diskrete Fourier-Transformation).

Man beachte, daß für die Folge der exakten Fourier-Koeffizienten \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \pm \infty }{c}_{n}=0\) gilt, während die Folge (γn) periodisch ist. Deshalb ist γn nur für |n| ≤ N/2 eine Näherung für cn. Es gilt die Regel: Je höher die Differenzierbarkeitsordnung des Signals f, umso kleiner ist der numerische Fehler \(\displaystyle {\sum }_{|n|\le N/2}|{c}_{n}-{\gamma }_{n}|\). Insbesondere kann dieser Fehler bei unstetigen Signalen unverhältnismäßig groß werden.

Die diskrete Fourier-Analyse ist eng verknüpft mit der Untersuchung der durch die Gleichungen (2) vermittelten linearen Abbildung

\begin{eqnarray}G(s)=\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}g(t){e}^{-its}dt\end{eqnarray}

an N äquidistanten Stellen s = s0, …, sN−1. In erster Näherung wird ein endlicher Integrationsbereich, z.B. [−L/2, L/2] für ein L > 0, gewählt. Es sind also die Werte

\begin{eqnarray}{c}_{n}=\displaystyle \underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}g(t){e}^{-it{s}_{n}}dt\end{eqnarray}

zu approximieren. Die Anwendung der Trapez-Regel und der schnellen Fourier-Transformation führt wie bei Gleichung (1) zum gesuchten Algorithmus.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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