Kennzahl bei der Lösung einer quadratischen bzw. kubischen Gleichung.

Ist x² + px + q = 0 eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten p und q, so kann man anhand der Diskriminante

\begin{eqnarray}D=\displaystyle\frac{{p}^{2}}{4}-q\end{eqnarray}

feststellen, ob die Gleichung reelle Lösungen besitzt. Ist D > 0, so hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist D = 0, so hat die Gleichung eine zweifache Lösung. Ist D < 0, so hat die Gleichung zwei komplexe Lösungen.

Etwas aufwendiger ist die Bestimmung der Diskriminante einer kubischen Gleichung x³ + ax² + bx + c = 0. Man transformiert zunächst die Gleichung durch den Ansatz \(y=x-\displaystyle\frac{a}{3}\) auf die Form

\begin{eqnarray}{y}^{3}+py+q=0,\end{eqnarray}

wobei \(p=b-\displaystyle\frac{{a}^{3}}{3}\) und \(q\,=\displaystyle\frac{2}{27}{a}^{\text{3}}-\displaystyle\frac{1}{3}ab\,+\,c\) gilt. Dann lautet die Diskriminante der kubischen Gleichung

\begin{eqnarray}D={\left(\displaystyle\frac{p}{3}\right)}^{3}+{\left(\displaystyle\frac{q}{2}\right)}^{2}.\end{eqnarray}

Die Lösungen der kubischen Gleichung kann man mit Hilfe der Variablen \(u\,=\,\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2}\,+\,\sqrt{D}}\) und \(v\,=\,\sqrt[3]{-\displaystyle\frac{q}{2}\,+\,\sqrt{D}}\) bestimmen (Cardanische Lösungsformeln, casus irreducibilis).