Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Diskriminante einer Körpererweiterung

Kennzahl einer Körpererweiterung.

Gegeben seien eine endliche separable Körpererweiterung L/K vom Grad n, ein Dedekindscher Ring \({{\mathcal{O}}}_{K}\subset \,K\) mit K als Quotientenkörper und \({{\mathcal{O}}}_{L}\) als ganzen Abschluß in L. Weiter sei \(\{{\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{n}\}\,\subset \,{{\mathcal{O}}}_{L}\) eine \({{\mathcal{O}}}_{K}\)-Basis von \({{\mathcal{O}}}_{L}\).

Die Diskriminante oder auch Relativdiskriminante der Körpererweiterung L/K ist definiert als das von der Diskriminante der Basis {α1, …, αn} erzeugte Ideal in \({{\mathcal{O}}}_{K}\):

\begin{eqnarray}{\mathfrak{d}}_{L/K}={\Delta }_{L/K}({\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{n})\mathcal{O}_{K}.\end{eqnarray}

Eine einfache Verallgemeinerung des ersten Dedekindschen Hauptsatzes zeigt, daß die Relativ-diskriminante gleich der Relativnorm der Relativdifferente ist:

\begin{eqnarray}{\mathfrak{d}}_{L/K}={{\mathfrak{N}}}_{L/K}({{\mathfrak{D}}}_{L/K}).\end{eqnarray}

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos