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Lexikon der Mathematik: divergente Reihe

nicht konvergente Reihe.

Für eine Zahlenfolge (aν) heißt die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{\nu=0}^{\infty }{a}_{\nu}\) also genau dann divergent, wenn sie nicht konvergiert.

Ein oft herangezogenes Beispiel für eine divergente Reihe ist die harmonische Reihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu=1}^{\infty }\displaystyle\frac{1}{\nu}.\end{eqnarray}

Gilt aν ≥ 0 (ν ∈ ℕ0), so kann die Divergenz von \(\displaystyle {\sum }_{\nu=0}^{\infty }{a}_{\nu}\) ggf. durch das Minorantenkriterium erschlossen werden. Auch das Integralkriterium und die Ergänzungen zu Wurzel-, Quotienten- und Raabe-Kriterium können weiterhelfen.

Ist die Folge (sn) der Partialsummen

\begin{eqnarray}{s}_{n}:=\displaystyle \sum _{\nu=0}^{n}{a}_{\nu}\end{eqnarray}

bestimmt divergent gegen ∞ (bzw. −∞), so schreibt man dafür manchmal auch etwas lax \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu=0}^{\infty }{a}_{\nu}=\infty\,\,\,\,\text{bzw}\text{.}\,\,\,\,\displaystyle \sum _{\nu=0}^{\infty }{a}_{\nu}=-\infty.\end{eqnarray}

Gewissen divergenten Reihen kann durch das Abel- oder das Cesàro-Summationsverfahren noch sinnvoll eine Summe zugeordnet werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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