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Lexikon der Mathematik: Divergenz eines Vektorfeldes

die Größe

\begin{eqnarray}(\rm{div}\,v)(a):=({D}_{1}{v}_{1})(a)+\ldots +({D}_{n}{v}_{n})(a)\end{eqnarray}

für eine in a differenzierbare Abbildung

\begin{eqnarray}v:D\to {{\mathbb{R}}}^{n}\end{eqnarray}

mit n ∈ ℕ, D ⊂ ℝn, a innerer Punkt von D, und den Koordinatenfunktionen v1, …, vn von v.

Mit dem Nabla-Operator

\begin{eqnarray}(\nabla v)(a)=(\nabla \cdot v)(a)={\rm{tr}}v\text{'}(a).\end{eqnarray}

Dabei bedeutet ∇ · v, daß dieser Ausdruck formal wie ein Skalarprodukt ausgerechnet werden soll, und tr v′(a) bezeichnet die Spur der (n × n)-Matrix v′(a).

Variiert man a, so erhält man das Skalarfeld div v = ∇ · v.

div v liefert ein „Maß“ für die „Quellendichte“ von v. Dies wird präzisiert im Gaußschen Integralsatz (im Raum), der eine Beziehung zum „Fluß durch die Oberfläche“ beschreibt.

Schreibt man im Spezialfall n = 3 die partiellen Ableitungen \(\displaystyle\frac{\partial }{\partial x},\displaystyle\frac{\partial }{\partial y},\displaystyle\frac{\partial }{\partial z}\) statt D1, D2, D3, so gilt für

\begin{eqnarray}\text{div }v=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial g}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial h}{\partial z}\end{eqnarray}

(Vektoranalyis).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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