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Lexikon der Mathematik: Division von Polynomen

Algorithmus zur „Zerlegung“ eines Polynoms.

Seien P(X) und S(X) Polynome vom Grad p bzw. s in einer Variablen X über einem Körper \({\mathbb{K}}\). Ist ps, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome Q(X) und R(X) mit R(X) ≡ 0 oder Grad R(X) < p, so daß gilt

\begin{eqnarray}S(X)=Q(X)\cdot P(X)+R(X).\end{eqnarray}

Das Polynom Q(X) heißt Quotient der Division von S(X) durch P(X). Der Quotient besitzt den Grad sp. Das Polynom R(X) heißt Rest der Division.

Die Durchführung der Division erfolgt durch sukzessive Subtraktion eines geeigneten skalaren Vielfachen von

\begin{eqnarray}{X}^{s-p-k}\cdot P(X)\,\,\,\,\rm{f}\rm{\ddot{u}}\rm{r}\,\,\,\,k=0,\ldots, s-p\end{eqnarray}

vom Polynom S(X).

Die skalaren Koeffizienten \({\alpha }_{k}\in {\mathbb{K}}\) sind so zu wählen, daß sich der Grad des Rests mindestens um Eins erniedrigt.

Spätestens für k = (sp) verschwindet die Differenz oder sie besitzt einen Grad, der kleiner als p ist. Das Quotientenpolynom Q(X) ist gegeben durch

\begin{eqnarray}Q(X)=\displaystyle \sum _{k=0}^{s-p}{\alpha }_{k}{X}^{s-p-k}.\end{eqnarray}

Das Restpolynom ist die zuletzt berechnete Differenz beim Abbruch des Algorithmus (vgl. auch Euklidischer Algorithmus).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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