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Lexikon der Mathematik: Dolbeault-Kohomologie

wichtige Kohomologiegruppe in der Funktionentheorie mehrerer Variabler.

Sei \({ {\mathcal E} }^{p,q}\) die Garbe der Keime von beliebig oft differenzierbaren Differentialformen vom Typ (p, q). Die Garbe der Keime der holomorphen (p, 0)-Formen auf X wird mit Ωp bezeichnet. Eine holomorphe (p, 0)-Form ϕ = ϕ(p,0) hat lokal eine Darstellung

\begin{eqnarray}\varphi =\displaystyle \sum _{1\le {i}_{1}\le \ldots \lt {i}_{p}\le n}{a}_{{i}_{1}\ldots {i}_{p}}d{z}_{{i}_{1}}\wedge \ldots \wedge d{z}_{{i}_{p}}\end{eqnarray}

mit holomorphen Koeffizienten \({a}_{{i}_{1}\ldots {i}_{p}}\). Das bedeutet, daß die Garbe Ωp lokal isomorph zur freien Garbe \(\bar{\partial }\,:\,{ {\mathcal E} }^{p,q}(U)\,\to \,{ {\mathcal E} }^{p,\,q+1}\,(U)\) induziert Homomorphismen von Garben von abelschen Gruppen: \(\bar{\partial }\,:\,{ {\mathcal E} }^{p,q}\,\to \,{ {\mathcal E} }^{p,\,q+1}\). Die folgende Garbensequenz ist exakt:

\begin{eqnarray}0\to {\Omega }^{p}\mathop{\hookrightarrow }\limits^{\varepsilon }{ {\mathcal E} }^{p,0}\buildrel\bar{\partial} \over \longrightarrow{ {\mathcal E} }^{p,1}\buildrel\bar{\partial} \over \longrightarrow{ {\mathcal E} }^{p,2}\to \ldots \,.\end{eqnarray}

Die induzierte Sequenz

\begin{eqnarray}0\to \Gamma (X,{\Omega }^{p})\buildrel\varepsilon\over\longrightarrow \Gamma (X,{\varepsilon }^{p,0})\buildrel\bar{\partial} \over \longrightarrow \Gamma (X,{\varepsilon }^{p,1}){\to }\ldots\end{eqnarray}

nennt man die Dolbeault-Sequenz. Die zugehörigen Kohomologiegruppen

\begin{eqnarray}{H}^{p,q}(X):=\displaystyle\frac{\text{Ker}\,\text{(}\Gamma (X,{ {\mathcal E} }^{p,q})\mathop{\to }\limits^{\varepsilon }\Gamma (X,{ {\mathcal E} }^{p,q+1})\text{)}}{\mathrm{Im}\,(\Gamma (X,{ {\mathcal E} }^{p,q-1})\mathop{\to }\limits^{\varepsilon }\Gamma (X,{ {\mathcal E} }^{p,q}))}\end{eqnarray}

nennt man die Dolbeaultschen Gruppen. Man vergleiche hierzu auch das Stichwort Dolbeault, Satz von.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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