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Lexikon der Mathematik: Doob-Meyer-Zerlegung

additive Darstellung eines Sub- bzw. Supermartingals als Summe bzw. Differenz aus einem Martingal und einem monoton wachsenden stochastischen Prozeß.

Für Submartingale gilt der folgende Satz:

Sei \((\Omega, \,{\mathfrak{A}},\,P)\)ein Wahrscheinlichkeitsraum und \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\)eine Filtration in \({\mathfrak{A}}\), die die üblichen Voraussetzungen erfüllt. Ein der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\) adaptiertes rechtsstetiges Submartingal \({({X}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\)besitzt genau dann eine Doob-Meyer-Zerlegung

\begin{eqnarray}{X}_{t}={M}_{t}+{A}_{t}\,\,\,\,\,t\in [0,\infty ),\end{eqnarray}

wobei \({({M}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\)ein rechtsstetiges Martingal und \({({A}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\)einen monoton wachsenden stochastischen Prozeß bezeichnet, wenn \({({X}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\)zur Klasse DL gehört. In diesem Fall gibt es genau ein Paar (\({({M}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\), \({({A}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\)), bei dem \({({A}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\)zusätzlich natürlich ist.

Ein rechtsstetiger, der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\) adaptierter stochastischer Prozeß \({({X}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\) gehört dabei nach Definition zur Klasse DL, wenn die Familie \({({X}_{T})}_{T\in {S}_{a}}\) für alle 0 < a < ∞ gleichmäßig integrierbar ist. Sa bezeichnet dabei die Menge aller Stoppzeiten T bezüglich \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t}{}_{\in [0,\,\infty )}\), für die P(Ta) = 1 gilt.

Ein analoger Satz gilt für Supermartingale, wobei die Doob-Meyer-Zerlegung die Form

\begin{eqnarray}{X}_{t}={M}_{t}-{A}_{t}\,\,\,\,\,t\in [0,\infty )\end{eqnarray}

besitzt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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