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Lexikon der Mathematik: Doppelkategorie

eine Ausdehnung des Kategoriebegriffs. Wie eine Kategorie selbst besitzt eine Doppelkategorie \({\mathcal{C}}\) ebenfalls Objekte.

Allerdings ist für je zwei Objekte X und Y die „Morphismenmenge“ Mor(X, Y) selbst eine Kategorie. Die Objekte dieser Kategorie heißen die Morphismen von \({\mathcal{C}}\), und die Morphismen der Kategorie Mor(X, Y) heißen 2-Morphismen von \({\mathcal{C}}\). Die Verknüpfung in \({\mathcal{C}}\) ist ein Funktor

\begin{eqnarray}\text{Mor}(X,Y)\times \text{Mor}(Y,Z)\to \text{Mor}(X,Z).\end{eqnarray}

Für jedes Objekt X ist ein Element 1X ∈ Mor(X, X) ausgezeichnet, die Identität.

Für die Verknüpfungen gelten die entsprechenden Assoziativitätsgesetze und die Gesetze für die Rechts- und Linkseinheit. Manchmal wird statt Doppelkategorie auch der Begriff strikte 2-Kategorie gebraucht.

Schwächt man die Gesetze für die Verknüpfungen so ab, daß sie lediglich bis auf natürliche Isomorphie gelten (es seien gewisse Kohärenzgesetze erfüllt), so erhält man eine schwache 2-Kategorie. Diese wird auch Bikategorie genannt.

Warnung: Leider ist die Namensgebung in der Literatur nicht einheitlich. Manche Autoren verwenden die Namen Doppel- und Bikategorie gerade in der jeweils anderen Bedeutung als oben eingeführt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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