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Lexikon der Mathematik: Doppelreihe

Reihe, deren Glieder von zwei Indizes abhängen. Um

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu,\mu =0}^{\infty }{a}_{\nu\mu }\end{eqnarray}

zu gegebenen Werten aνμ (ν, μ ∈ ℕ) zu definieren, hat man mehrere Möglichkeiten:
  • Man bildet

    \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\mu =0}^{\infty }\left(\displaystyle \sum _{\nu=0}^{\infty }{a}_{\nu\mu }\right),\end{eqnarray}

    falls alle Reihen \({b}_{\mu }\,:=\,\displaystyle {\sum }_{\nu=0}^{\infty }{a}_{\nu\mu }\) konvergieren und auch noch \(\displaystyle {\sum }_{\mu \,=\,0}^{\infty }{b}_{\mu }\) konvergiert.
  • Man vertauscht oben die Rollen von ν und μ, definiert also entsprechend

    \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu=0}^{\infty }\left(\displaystyle \sum _{\mu =0}^{\infty }{a}_{\nu\mu }\right).\end{eqnarray}

  • Schließlich kann man die aνμ abzählen, d. h. – etwas lax ausgedrückt – die Menge {aνμ : ν, μ ∈ ℕ0} als Folge (aϕ(n)) genau einmal durchlaufen lassen, und dann \(\displaystyle {\sum }_{n\,=\,0}^{\infty }{a}_{\varphi (n)}\) bilden.
  • Daß unter geeigneten Voraussetzungen der gleiche Konvergenzbegriff entsteht, besagt der sog. große Umordnungssatz.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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