Reihe, deren Glieder von zwei Indizes abhängen. Um

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu,\mu =0}^{\infty }{a}_{\nu\mu }\end{eqnarray}

zu gegebenen Werten a_νμ (ν, μ ∈ ℕ) zu definieren, hat man mehrere Möglichkeiten:

• Man bildet

  \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\mu =0}^{\infty }\left(\displaystyle \sum _{\nu=0}^{\infty }{a}_{\nu\mu }\right),\end{eqnarray}

falls alle Reihen \({b}_{\mu }\,:=\,\displaystyle {\sum }_{\nu=0}^{\infty }{a}_{\nu\mu }\) konvergieren und auch noch \(\displaystyle {\sum }_{\mu \,=\,0}^{\infty }{b}_{\mu }\) konvergiert.

Man vertauscht oben die Rollen von ν und μ, definiert also entsprechend

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu=0}^{\infty }\left(\displaystyle \sum _{\mu =0}^{\infty }{a}_{\nu\mu }\right).\end{eqnarray}

Schließlich kann man die a_νμ abzählen, d. h. – etwas lax ausgedrückt – die Menge {a_νμ : ν, μ ∈ ℕ₀} als Folge (a_ϕ(n)) genau einmal durchlaufen lassen, und dann \(\displaystyle {\sum }_{n\,=\,0}^{\infty }{a}_{\varphi (n)}\) bilden.

Daß unter geeigneten Voraussetzungen der gleiche Konvergenzbegriff entsteht, besagt der sog. große Umordnungssatz.