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Lexikon der Mathematik: Douglas-Radó, Satz von

die erste vollständige und zufriedenstellende Lösung des Plateauschen Problems, 1930/1931 gefunden von Radó und Douglas.

Es sei \({\mathcal{C}}\)eine geschlossene rektifizierbare Jordankurve im3; \({\mathcal{C}}\)ist also homöomorph zum Einheitskreis und besitzt eine endliche Länge.

Dann existiert eine Fläche \( {\mathcal F} \)mit einer Parameterdarstellung \(\Phi \,:\,\overline{{\mathbb{E}}\,}\to \,{{\mathbb{R}}}^{3}\), die auf dem abgeschlossenen Einheitskreis \(\overline{{\mathbb{E}}}\,\subset \,{{\mathbb{R}}}^{2}\)definiert ist, deren Einschränkung auf den Rand von \(\overline{{\mathbb{E}}}\)ein Homöomorphismus auf \({\mathcal{C}}\)und in den inneren Punkten von \({\mathbb{E}}\)zweimal stetig differenzierbar ist, und deren mittlere Krümmung dort verschwindet.

Die Fläche \( {\mathcal F} \) kann man sich als eine in die Kontur \({\mathcal{C}}\) eingespannte Seifenblase vorstellen. Sie ist aber im allgemeinen nicht die einzige Lösung des Plateauschen Problems. Die Frage, wieviele Minimalflächen gegebenen Geschlechts von einer gegebenen Randkurve aufgespannt werden, ist von einer Lösung noch weit entfernt.

[1] Dierkes,U.; Hildebrandt,S.; Küster, A.; Wohlrab,O.: Minimal Surfaces. Vol. 1 & 2. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York, 1992.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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