besonders ausgezeichnete Dreh- bzw. Rotationsfläche.

Alle Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung k lassen sich durch die Lösungen der Differentialgleichung ϕ″ + k ϕ = 0 klassifizieren.

Wählt man für eine Drehfläche eine Parameterdarstellung der Gestalt

\begin{eqnarray}\Phi (u,v)=(\varphi (v)\,{\rm{cos}}\,u,\varphi (v)\,\sin \,u\psi (v))\end{eqnarray}

Gilt k(v) = k = 1/a² = const > 0, so sind alle Lösungen der Differentialgleichung ϕ″ + k ϕ = 0 durch ϕ(v) = b cos(v/a − c) gegeben, wobei b und c Integrationskonstanten sind. Da c als Parameterverschiebung keinen Einfluß auf die Fläche hat, kann man c = 0 setzen.

Für k = 1/a² = const < 0 erhält man die Lösungen ϕ(v) = b cosh(v/a−c). Um aus den Funktionen ϕ die zweite Komponente ψ der Profilkurve zu berechnen, muß ein elliptisches Integral der Form

\begin{eqnarray}\psi (v)=\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{\sinh }^{2}\left(\frac{t}{a}\right)}\,dt\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\psi (v)=\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{\sin }^{2}\left(\frac{t}{a}\right)}\,dt\end{eqnarray}

In Abhängigkeit von den Parametern a und b erhält man Rotationsflächen unterschiedlicher Gestalt.