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Lexikon der Mathematik: Drehfläche konstanter Gaußscher Krümmung

besonders ausgezeichnete Dreh- bzw. Rotationsfläche.

Alle Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung k lassen sich durch die Lösungen der Differentialgleichung ϕ″ + k ϕ = 0 klassifizieren.

Wählt man für eine Drehfläche eine Parameterdarstellung der Gestalt

\begin{eqnarray}\Phi (u,v)=(\varphi (v)\,{\rm{cos}}\,u,\varphi (v)\,\sin \,u\psi (v))\end{eqnarray}

mit (ϕ′)2 + (ψ′)2 = 1, so hat die Gaußsche Krümmung den Wert k(v) = −ϕ″/ϕ.

Gilt k(v) = k = 1/a2 = const > 0, so sind alle Lösungen der Differentialgleichung ϕ″ + k ϕ = 0 durch ϕ(v) = b cos(v/ac) gegeben, wobei b und c Integrationskonstanten sind. Da c als Parameterverschiebung keinen Einfluß auf die Fläche hat, kann man c = 0 setzen.

Für k = 1/a2 = const < 0 erhält man die Lösungen ϕ(v) = b cosh(v/a−c). Um aus den Funktionen ϕ die zweite Komponente ψ der Profilkurve zu berechnen, muß ein elliptisches Integral der Form

\begin{eqnarray}\psi (v)=\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{\sinh }^{2}\left(\frac{t}{a}\right)}\,dt\end{eqnarray}

oder

\begin{eqnarray}\psi (v)=\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{\sin }^{2}\left(\frac{t}{a}\right)}\,dt\end{eqnarray}

gelöst werden.

In Abhängigkeit von den Parametern a und b erhält man Rotationsflächen unterschiedlicher Gestalt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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