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Lexikon der Mathematik: Drehung im ℝn

eine lineare Abbildung ψ : ℝn → ℝn, für deren sie bezüglich einer fest gewählten Basis von ℝn repräsentierende Matrix A gilt:

\begin{eqnarray}{A}^{t}A=I\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\det{A}=1,\end{eqnarray}

wobei I die (n × n)-Einheitsmatrix und At die zu A transponierte Matrix bezeichnet. A ist also eine Drehmatrix.

Die Fälle n = 2 und n = 3 verdienen besondere Beachtung, da hier die Matrix A eine besonders einfache Gestalt hat, und aufgrund der geringen Dimension des Raumes die Drehungen hier besonders leicht beschrieben werden können.

Die Drehmatrizen im ℝ2 sind mit einem ϕ ∈ [0, 2π) gegeben durch: \begin{eqnarray}{A}_{\varphi }=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi\end{array}\right),\end{eqnarray} d. h., zu jeder Drehmatrix A = Aϕ im ℝ2 existiert ein ϕ ∈ [0, 2π), so daß A diese Darstellung besitzt.

Anschaulich repräsentiert Aϕ eine Drehung um den Winkel ϕ entgegen dem Uhrzeigersinn.

Eine Drehung im ℝ3 kann immer gegeben werden durch Angabe einer Drehachse, auf der alle Punkte festbleiben, und einen Drehwinkel ϕ.

Ein Beispiel einer Drehung im ℝ3 ist gegeben durch die Drehmatrix \begin{eqnarray}{A}_{\varphi }=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \varphi & -\sin \varphi \\ 0 & \sin \varphi & \cos \varphi\end{array}\right).\end{eqnarray}

Hier bleibt die x-Achse fest, und es wird in der yz-Ebene um den Winkel ϕ entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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