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Lexikon der Mathematik: Dreieck

Menge aus den Punkten der Verbindungsstrecken dreier Punkte.

Faßt man Strecken als Punktmengen auf (was nicht selbstverständlich ist, Axiome der Geometrie), so läßt sich das Dreieck δABC als Menge aller Punkte P definieren, die mindestens einer der drei (abgeschlossenen) Strecken \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\) und \(\overline{AC}\) angehören:

\begin{eqnarray}\Delta ABC:=\{P|P\in \overline{AB}\vee P\in \overline{BC}\vee P\in \overline{AC}\}.\end{eqnarray}

Die Punkte A, B und C heißen Eckpunkte oder Ecken, die Strecken \(\overline{AB}\), \(\overline{BC}\) und \(\overline{AC}\) Seiten sowie die Winkel ∠ABC, ∠BAC und ∠ACB Innenwinkel des Dreiecks. Jeder Nebenwinkel eines dieser Innenwinkel wird als Außenwinkel bezeichnet.

Mitunter wird der Begriff Dreieck auch für die Bezeichnung der Dreiecksfläche verwendet, d. h. für alle Punkte, die den Dreiecksseiten angehören und diejenigen Punkte, die im Innern des Dreiecks liegen (genauer: alle Punkte, die mindestens einer derjenigen Strecken angehören, deren beide Endpunkte Punkte des Dreiecks sind).

In einem Dreieck gelten u. a. folgende fundamentalen Sätze:

  • Beziehung „größere Seite – größerer Winkel“: In einem Dreieck liegt der größeren Seite stets der größere Winkel gegenüber und umgekehrt.
  • Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seitenlängen eines Dreiecks ist stets größer als die Länge der dritten Seite.
  • Innenwinkelsatz: Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks ist ein gestreckter Winkel.
  • Außenwinkelsatz: Die Größe eines jeden Außenwinkels ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Weiterhin gelten für Dreiecke u. a. der Sinussatz und der Cosinussatz sowie für rechtwinklige Dreiecke z. B. der Satz des Pythagoras.

Die Mehrzahl der aufgeführten Sätze gilt allerdings nur in der euklidischen Geometrie. In den nichteuklidischen Geometrien gelten stark abgeschwächte oder völlig andere Aussagen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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