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Lexikon der Mathematik: Dreiecksmatrix

eine quadratische Matrix A = ((aij)), bei der entweder alle Elemente oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null sind.

Man verdeutlicht sich die Situation am besten mit Hilfe der Abbildung.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Dreiecksmatrix
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Obere und untere Dreiecksmatrix

Im ersten Falle gilt aij = 0 für alle i, j ∈ {1,…, n} mit i > j, und man spricht von einer oberen Dreiecksmatrix. Im letzteren Falle gilt aij = 0 für alle i, j ∈ {1, …, n} mit i < j, und man spricht von einer unteren Dreiecksmatrix.

Die Determinante einer Dreiecksmatrix A = (aij) ergibt sich als Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente:

\begin{eqnarray}\det A={a}_{11}{a}_{22}\ldots {a}_{nn}.\end{eqnarray}

Jede beliebige quadratische Matrix läßt sich durch mehrmaliges Addieren des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile in eine Dreiecksmatrix überführen; der Wert der Determinante der Matrix ändert sich hierdurch nicht.

Zahlreiche numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Ax = b, zur Lösung von Eigenwertproblemen Ax = λx oder zur Lösung eines linearen Ausgleichsproblems

\begin{eqnarray}||{A}_{x}-b||=\mathop{\min }\limits_{x}\end{eqnarray}

basieren auf der Transformation der Koeffizientenmatrix A auf Dreiecksgestalt, da man dann die jeweilige Lösung sofort ablesen kann. Man vergleiche hierzu etwa das Gauß-Verfahren zur direkten Lösung linearer Gleichungssysteme, den QR-Algorithmus zur Lösung von Eigenwertproblemen oder die Methode der kleinsten Quadrate zur Lösung eines linearen Ausgleichsproblems.

[1] Fischer, G.: Lineare Algebra. Verlag Vieweg Braunschweig, 1978.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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