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Lexikon der Mathematik: Dreiecksungleichung für Integrale

ganz allgemein eine Bezeichnung für die Abschätzung des Betrages eines Integrals durch das Integral über den Betrag des Integranden.

Beispielsweise hat man für −∞ < a < b < ∞ und eine stetige Funktion f : [a, b] → ℝ die Abschätzung

\begin{eqnarray}\left|\displaystyle \underset{b}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\right|\le \displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx.\end{eqnarray}

Hierbei seien die Integrale jeweils als Riemann-Integrale oder als Integrale von Regelfunktionen verstanden. Die rechte Seite kann dabei noch grob durch

\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{b}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx\le (b-a)\cdot \mathop{\rm{max}}\limits_{x\in [a,.b]}|f(x)|\end{eqnarray}

abgeschätzt werden.

Die Bezeichnung Dreiecksungleichung rührt daher, daß sich diese Abschätzung im Fall von Treppenfunktionen gerade direkt aus der Dreiecksungleichung für den Betrag | ⋅ | ergibt.

Allgemeiner gilt dies für eine ℝ n-wertige stetige Funktion f, wenn der Betrag | ⋅ | durch eine Norm ∥ ⋅ ∥ auf dem ℝn ersetzt wird, also \begin{eqnarray} \left\Vert \displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\right\Vert & \le & \displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert f(x)\Vert dx\\ & \le & (b-a)\cdot \underset{x\in [a,b]}{\rm{max}}\Vert f(x)\Vert.\end{eqnarray}

Dies wiederum gilt unverändert für eine Funktion f mit Werten in einem normierten Vektorraum mit der Norm ∥ ⋅ ∥.

Für Funktionen mit allgemeinerem Definitionsbereich – beispielsweise im ℝk oder in einem Wahrscheinlichkeitsraum – hat man \begin{eqnarray} \left\Vert \displaystyle \mathop{\int }\limits_{M}f(x)dx\right\Vert & \le & \displaystyle \mathop{\int }\limits_{M}\Vert f(x)\Vert dx\\ & \le & \mu (M)\cdot \underset{x\in M}{\rm{sup}}\Vert f(x)\Vert.\end{eqnarray} etwa wenn f eine Riemann- oder Lebesgue-integrierbare Funktion auf einer Jordan- bzw. Lebesgue-meßbaren Menge M ist. Dabei bezeichnet μ(M) den Jordan-Inhalt bzw. das Lebesgue-Maß von M.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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