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Lexikon der Mathematik: Dreisatz

die Aufgabenstellung, aus drei vorgegebenen Größen eine vierte, unbekannte, direkt zu berechnen.

Die Dreisatzrechnung ist sicherlich eine der am weitesten verbreiteten mathematischen Techniken des täglichen Lebens. Man benötigt zur Durchführung des Dreisatzes die Division und die Multiplikation. Es wird dabei von einer Mehrzahl auf die Einzahl und davon wiederum auf eine (andere) Mehrzahl geschlossen, allerdings ohne diese Berechnungen explizit auszuführen; dies ist der Vorteil des Dreisatzes.

Man kann das Prinzip wohl am besten anhand eines Beispiels erläutern: Ein Mädchen kauft im Supermarkt Milch ein und muß dabei für 5 Liter Milch 6 Euro bezahlen. Am nächsten Tag (es handelt sich um eine große Familie mit hohem Milchverbrauch) kauft sie 7 Liter ein. Frage: Wie hoch ist der Preis?

„Eigentlich“ müßte man nun zunächst berechnen, was 1 Liter kostet:

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{6\,Eur}{5\,l}=1,20\,Eur/l,\end{eqnarray}

und dann den Preis für 7 Liter durch Multiplikation bestimmen:

\begin{eqnarray}7\,l\cdot 1,20\,Eur/l=8,40\,Eur.\end{eqnarray}

Der Dreisatz

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{6\,Eur}{5\,l}=\displaystyle\frac{x\,Eur}{7\,l}\end{eqnarray}

liefert dieses Ergebnis, durch Auflösen nach x, direkt. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, daß es sich hierbei keineswegs um eine sog. „Milchmädchenrechnung“, sondern um exakte, wenn auch sehr elementare, Mathematik handelt.

Ein Dreisatz kann auch in folgender Art und Weise, die manchmal auch als umgekehrter Dreisatz bezeichnet wird, verwendet werden:

Eine Truppe von 15 Bauarbeitern (BA) benötigt zum Ausheben einer Grube 9 Stunden. Am nächsten Tag erscheinen krankheitsbedingt nur 6 Bauarbeiter zur gleichen Tätigkeit auf einer identischen Baustelle. Frage: Wie lange brauchen diese?

Der (umgekehrte) Dreisatz

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{x\,h}{15\,BA}=\displaystyle\frac{9\,h}{6\,BA}\end{eqnarray}

ermöglicht es nun, das Umrechnen auf „Mannstunden“ zu umgehen und die Lösung

\begin{eqnarray}x\,h=22,5\,h\end{eqnarray}

direkt zu ermitteln.

Gleichzeitig kann man an diesem Beispiel auch sehr schön die Grenzen der mathematischen Modellbildung illustrieren: Derselbe Dreisatz ergibt nämlich, daß die gewünschte Arbeit von einer Million Bauarbeitern in deutlich weniger als einer Sekunde erledigt werden kann, was sicherlich aus verschiedenen Gründen nicht ganz der Realität entspricht.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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