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Lexikon der Mathematik: duale Abbildung

Selbstabbildung im Raum der linearen Abbildungen eines Vektorraums.

Es sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum, V* der Vektorraum der linearen Abbildungen von V nach ℝ bzw. ℂ und A : VV eine lineare Abbildung von V in sich. Setzt man für x* ∈ V* und xV

\begin{eqnarray}\lt x,{x}^{* }\gt \,:={x}^{* }(x),\end{eqnarray}

so gibt es genau eine lineare Abbildung A*: V* → V* mit der Eigenschaft, daß

\begin{eqnarray}\lt A(x),{x}^{* }\gt \,=\,\lt x,{A}^{* }({x}^{* })\gt \end{eqnarray}

für alle xV und x* ∈ V* gilt. Diese Abbildung A* heißt algebraisch duale Abbildung oder auch duale Abbildung zu A.

Damit läßt sich beispielsweise ein Lösungssatz für Gleichungen der Form A(x) = y formulieren.

Die Gleichung A(x) = y ist genau dann lösbar, wenn für alle Lösungen x* der Gleichung A* (x*) = 0 gilt:

\begin{eqnarray}{x}^{* }(y)=0.\end{eqnarray}

Man vgl. auch das Stichwort Dualraum.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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