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Lexikon der Mathematik: duale Basis

eine Basis (v1*,…, vn*) des Dualraumes V* eines endlichdimensionalen \({\mathbb{K}}\)-Vektorraumes V (wobei (v1, …, vn) Basis von V ist), d. h. der Menge aller Linearformen von V nach \({\mathbb{K}}\) zusammen mit den durch

\begin{eqnarray}(f+g)(v):=f(v)+g(v)\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}(\alpha f)(v):=\alpha \cdot f(v)\end{eqnarray}

(\(f,\,g\,:\,V\,\to \,{\mathbb{K}}\) linear, \(\alpha \,\to \,{\mathbb{K}}\)) definierten Verknüpfungen.

Die \({v}_{i}^{* }\,:\,V\,\to \,{\mathbb{K}}\) sind dabei festgelegt durch die Beziehung:

\begin{eqnarray}\Phi :V\to {V}^{* * };\,\,v\mapsto \Phi (v)\end{eqnarray}

mit

\begin{eqnarray}(\Phi (v))({v}^{* })={v}^{* }(v)\,\,\rm{f\ddot{u}r}\,\,{v}^{* }\in {V}^{* }\end{eqnarray}

ist eine injektive lineare Abbildung von V in den Bidualraum

\begin{eqnarray}{V}^{* * }:={({V}^{* })}^{* }\end{eqnarray}

von V.

Ist V endlichdimensional, so ist Φ sogar ein Isomorphismus (duale Paarung).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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