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Lexikon der Mathematik: duale Zahlen

der Ring \({\mathbb{D}}\) der Zahlen der Form z = a + ϵ b mit a, b ∈ ℝ, in dem ϵ2 = 0 gilt.

Addition und Multiplikation dualer Zahlen werden nach den üblichen Gesetzen (Distributiv-, Assoziativ- und Kommutativgesetz) der Algebra durchgeführt, wobei die duale Einheit ϵ der zusätzlichen Bedingung ϵ2 = 0 unterliegt. \({\mathbb{D}}\) ist isomorph zum Faktorring ℝ[x]/(x2) des Rings aller reellen Polynome in einer Unbestimmten x nach dem von x2 erzeugten Ideal. Ähnlich wie im Körper der komplexen Zahlen lassen sich differenzierbare Funktionen f(x) einer reellen Variablen auf \({\mathbb{D}}\) ausdehnen. Allerdings genügt es hier, daß f(x) einmal stetig differenzierbar ist.

Aus einer formalen Taylorentwickung entnimmt man

\begin{eqnarray}f(a+\varepsilon b)=f(a)+\varepsilon bf^{\prime}(a),\end{eqnarray}

also z. B. cos(a + ϵ b) = cos(a) − ϵ b sin(a) und sin(a + ϵ b) = sin(a) + ϵ b cos(a). Dadurch lassen sich geometrische Grundbegriffe wie Skalarprodukt, Länge, Winkel, orthogonale Abbildung auf den Raum \({{\mathbb{D}}}^{3}\) verallgemeinern.

Mit den Begriffen des dualen Skalarprodukts, der dualen Länge, des dualen Winkels und der dualen orthogonalen Gruppe finden die dualen Zahlen Anwendung in der differentiellen Geradengeometrie.

Der Begriff der dualen Zahlen ist nicht zu verwechseln mit dem der Dualzahlen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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