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Lexikon der Mathematik: Dualraum

Raum der linearen Funktionale auf einem Vektorraum (algebraischer Dualraum); im engeren Sinn Raum der stetigen linearen Funktionale auf einem topologischen Vektorraum (topologischer Dualraum).

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Dann bezeichnet man die linearen Abbildungen L : VK als lineare Funktionale. Versieht man die Menge V* aller linearen Funktionale auf V mit der Addition (L1 + L2)(x) = L1(x) + L2(x) und der Multiplikation (λ · L)(x) = λ · L(x), so wird V* zu einem weiteren Vektorraum über K, den man als den zu V dualen Raum oder als den Dualraum von V bezeichnet. Ist V endlichdimensional, so ist auch V* endlichdimensional und hat die gleiche Dimension wie V. Ist weiterhin {x1,…, xn} eine Basis von V, so gibt es eine zugehörige duale Basis {L1,…,Ln} von V*, wobei die linearen Funktionale durch die Eigenschaft

\begin{eqnarray}\Vert L\Vert =\rm{sup} \{|L(v)|:\,v\in V,\,\Vert v\Vert \le 1\},\end{eqnarray}

die duale Norm genannt wird. In dieser Norm ist V′ stets vollständig, also ein Banachraum.

[1] Rudin, W.: Functional Analysis. McGraw-Hill New York, 1973.
[2] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer Berlin/Heidelberg, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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