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Lexikon der Mathematik: Dualsystem

im Sinne der Funktionalanalysis der Spezialfall eines Bilinearsystems der folgenden Art.

Sind V und V+ reelle oder komplexe Vektorräume, die ein Bilinearsystem bezüglich der Bilinearform < ., . > bilden, so heißt das Bilinearsystem (V, V+) ein Dualsystem, falls aus < x, x+ >= 0 für alle xV schon folgt, daß x+ = 0 ist, und falls aus < x, x+ >= 0 für alle x+V+ schon folgt, daß x = 0 ist.

Ist insbesondere V+ der Raum V* der linearen Abbildungen in ℝ bzw. ℂ, so ist (V, V*) ein Dualsystem bezüglich der natürlichen Bilinearform

\begin{eqnarray}(x,{x}^{* })={x}^{* }(x)\end{eqnarray}

(duale Abbildung).

Ist weiterhin V ein normierter Raum und V+ der Raum V′ der linearen stetigen Abbildungen nach ℝ bzw. ℂ, so ist auch hier (V, V′) ein Dualsystem bezüglich der natürlichen Bilinearform.

Allgemein läßt sich mit Hilfe eines Dualsystems sowohl auf V wie auch auf V+ eine lokal konvexe Topologie definieren:

Für jedes xV ist

\begin{eqnarray}{p}_{x}({x}^{+})=\,|\,\lt x,{x}^{+}\gt \,|\end{eqnarray}

eine Halbnorm auf V+. Die Familie dieser Halbnormen definiert auf V+ eine lokalkonvexe Topologie, die man als die schwache Topologie von V+ bezüglich V bezeichnet.

Umgekehrt läßt sich mit Hilfe der entsprechenden Halbnormen auf V eine schwache Topologie bezüglich V+ auf dem Vektorraum V definieren.

Im Sinne der Zahlentheorie bzw. der Informatik verwendet man den Begriff Dualsystem manchmal auch als Synonym für Binärsystem, also für das Rechnen mit Dualzahlen. Man vergleiche hierzu auch dyadische Darstellung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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