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Lexikon der Mathematik: Dupinsche Indikatrix

ein Kegelschnitt, der in der Tangentialebene TP(F) einer Fläche \( {\mathcal F} \) liegt und durch die quadratische Gleichung

\begin{eqnarray}L\,{u}_{1}^{2}+2M\,{u}_{1}\,{u}_{2}+N\,{u}_{2}^{2}=\pm 1\end{eqnarray}

definiert ist.

Dabei sind L, M und N die Koeffizienten der zweiten Gaußschen Fundamentalform und (u1, u2) lineare Koordinaten in TP(F). Die Dupinsche Indikatrix ist ein anschauliches Hilfsmittel zur Beschreibung der Gestalt der Fläche in der Umgebung von P. Es besteht ein Zusammenhang zwischen ihrer Form und dem Typ des Flächenpunktes PF. Sie ist ein Kreis, wenn P ein Nabelpunkt, eine Ellipse, wenn P elliptisch, (elliptischer Punkt), eine Hyperbel, wenn P hyperbolisch (hyperbolischer Punkt), ein Paar paralleler Geraden, wenn P parabolisch (parabolischer Punkt), und die leere Menge ∅, wenn P ein Flachpunkt ist.

Ist P hyperbolisch, so hat die Dupinsche Indikatrix zwei Asymptoten, deren Richtungen Asymptotenrichtungen der Fläche im Punkt P heißen. Man bezeichnet sie meist auch einfach als die Asymptoten der Dupinschen Indikatrix.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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