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Lexikon der Mathematik: Duration

in der Finanzmathematik ein Maß für die Sensibilität von Verpflichtungen gegen Zinsänderungen.

Für eine Zinsstruktur mit Zins z0 ist der Barwert einer Zahlungsreihe \({\{{\gamma }_{t}\}}_{t\,=\mathrm{0..}T}\) gleich

\begin{eqnarray}B({z}_{0},\{{\gamma }_{t}\})=\displaystyle \sum _{t=0}^{T}{\gamma }_{t}* {(1+{z}_{0})}^{(-t)}.\end{eqnarray}

Die (absolute) Duration ist definiert als

\begin{eqnarray}D({z}_{0},\{{\gamma }_{t}\})=-{\partial }_{z}B(z,\{{\gamma }_{t}\}){|}_{z={z}_{0}},\end{eqnarray}

alternativ dazu wird die Macaulay-Duration

\begin{eqnarray}-(1+{z}_{0}){\partial }_{z}\mathrm{log}(B({z}_{0},\{{\gamma }_{t}\})){|}_{z={z}_{0}}\end{eqnarray}

>verwendet. Bei Anwendungen im Finanzbereich stehen den Verpflichtungen (Passiva) \({\{{\gamma }_{t}^{P}\}}_{t\,=\mathrm{0..}T}\) Zahlungsströme \({\{{\gamma }_{t}^{A}\}}_{t\,=\mathrm{0..}T}\) aus den Aktiva gegenüber. Die Gleichwertigkeit der Zahlungen ist durch die Äquivalenzbedingung

\begin{eqnarray}B({z}_{0},\{{\gamma }_{t}^{A}\})=B({z}_{0},\{{\gamma }_{t}^{P}\})\end{eqnarray}

zu sichern. Das Zinsrisiko wird durch ein Matching reduziert: Sofern die Duration der Aktiva \(D({z}_{0},\,\{{\lambda }_{t}^{A}\})\) und der Passiva \(D({z}_{0},\,\{{\lambda }_{t}^{P}\})\) übereinstimmt, ist das Portfolio weitgehend immunisiert. Dann folgt aus dem Satz von Taylor

\begin{eqnarray}B({z}_{0},\{{\gamma }_{t}^{P}\})=B({z}_{0},\{{\gamma }_{t}^{A}\})+o{(z-{z}_{0})}^{2}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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