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Lexikon der Mathematik: Durchschnitt von unscharfen Mengen

die unscharfe Menge mit der Zugehörigkeitsfunktion

\begin{eqnarray}{\mu }_{A\cap B}(x)=\rm{min}({\mu }_{A}(x),\,{\mu }_{B}(x))\end{eqnarray}

für alle xX, geschrieben \(\mathop{A}\limits^{\sim }\,\cap \,\mathop{B}\limits^{\sim }\), wobei \(\mathop{A}\limits^{\sim }\) und \(\mathop{A}\limits^{\sim }\) Fuzzy-Mengen auf X sind.

Aufgrund der hohen Übereinstimmung in den Eigenschaften werden die auf dem Minimum- und dem Maximum-Operator basierenden Durchschnitts- und Vereinigungsbildungen unscharfer Mengen als natürliche Erweiterung der klassischen Mengenoperatoren Durchschnitt bzw. Vereinigung angesehen; sie verkörpern daher das „logische und“ bzw. das „logische oder“ bei der Aggregation unscharfer Mengen.

Die Mengenoperationen ∩ und ∪ weisen zusammen mit der (unscharfen) Komplementbildung C fast alle Eigenschaften auf, die auch die entsprechenden klassischen Mengenoperatoren besitzen.

Lediglich das Gesetz der Komplementarität ist nicht länger gültig, denn für eine unscharfe Menge \(\mathop{A}\limits^{\sim }\) über X, die nicht gleich \(\mathop{\varnothing }\limits^{\sim }\) oder X ist, gilt

\begin{eqnarray}\tilde{A}\,{\cap}\, C(\tilde{A})\ne \tilde{\varnothing }\quad\rm{und}\quad\tilde{A}\,{\cup }\,C(\tilde{A})\ne X.\,\end{eqnarray}

Der Minimum- und der Maximum-Operator sind extreme Formen der T-Norm bzw. der T-Konorm.

In der Theorie unscharfer Mengen werden auch andere Operatorenpaare, bestehend aus T-Norm und T-Konorm zur Durchschnitts- und Vereinigungsbildung verwendet, z. B. das algebraische Produkt und die algebraische Summe unscharfer Mengen oder die beschränkte Differenz und die beschränkte Summe unscharfer Mengen.

Das System \(\mathop{{\mathfrak{P}}}\limits^{\sim }(X)\) aller unscharfer Teilmengen auf X bildet bezüglich der Operatoren ∩ und ∪ einen distributiven Verband, der aber nicht komplementär ist.

Für Mengen \(\tilde{A},\,\tilde{B},\,\tilde{D}\,\in\,\mathop{{\mathfrak{P}}}\limits^{\sim }(X)\)gelten daher die folgenden Gesetze:

  • Kommutativität:

    \begin{eqnarray}\tilde{A}\cap \tilde{B}=\tilde{B}\cap \tilde{A}\\ \tilde{A}\cup \tilde{B}=\tilde{B}\cup \tilde{A}\end{eqnarray}

  • Assoziativität:

    \begin{eqnarray}(\tilde{A}\cap \tilde{B})\cap \tilde{D}=\tilde{A}\cap (\tilde{B}\cap \tilde{D})\\ (\tilde{A}\cup \tilde{B})\cup \tilde{D}=\tilde{A}\cup (\tilde{B}\cup \tilde{D})\end{eqnarray}

  • Adjunktivität:

    \begin{eqnarray}\tilde{A}\cap (\tilde{A}\cup \tilde{B})=\tilde{A}\\ \tilde{A}\cup (\tilde{A}\cap \tilde{B})=\tilde{A}\end{eqnarray}

  • Distributivität:

    \begin{eqnarray}\tilde{A}\cap (\tilde{B}\cup \tilde{D})=(\tilde{A}\cap \tilde{B})\cup (\tilde{A}\cap \tilde{D})\\ \tilde{A}\cup (\tilde{B}\cap \tilde{D})=(\tilde{A}\cup \tilde{B})\cap (\tilde{A}\cup \tilde{D})\end{eqnarray}

  • Darüber hinaus gelten die Eigenschaften:

    • Idempotenz:

      \begin{eqnarray}\tilde{A}\cap \tilde{A}=\tilde{A}\\ \tilde{A}\cup \tilde{A}=\tilde{A}\end{eqnarray}

    • Monotonie:

      \begin{eqnarray}\tilde{A}\subseteq \tilde{B}\Rightarrow \tilde{A}\cap \tilde{D}\subseteq \tilde{B}\cap \tilde{D}\\ \tilde{A}\subseteq \tilde{B}\Rightarrow \tilde{A}\cup \tilde{D}\subseteq \tilde{B}\cup \tilde{D}\end{eqnarray}

    • Gesetze von de Morgan:

      \begin{eqnarray}C(\tilde{A}\cap \tilde{B})=C(\tilde{A})\cup C(\tilde{B})\\ C(\tilde{A}\cup \tilde{B})=C(\tilde{A})\cap C(\tilde{B})\end{eqnarray}

    • Involution:

      \begin{eqnarray}C(C(\tilde{A}))=\tilde{A}.\end{eqnarray}

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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