Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Dvoretzky, Satz von

zentraler Satz der lokalen Banachraumtheorie und der Konvexgeometrie über die Existenz fast sphärischer Schnitte konvexer Körper.

In der Sprache der Funktionalanalysis lautet der Satz:

Zu jedem ϵ > 0 existiert eine Konstante c(ϵ) > 0 mit folgender Eigenschaft: Ist E ein n-dimensionaler normierter Raum und k = [c(ϵ) log n], so existiert ein k-dimensionaler Unterraum F von E, der (1 + ϵ)-isomorph zum Hilbertraum 2(k) ist; d. h. für den Banach-Mazur-Abstand gilt

\begin{eqnarray}d(F,{\ell }^{2}(k))\le 1+\varepsilon.\end{eqnarray}

Insbesondere enthält jeder unendlichdimensionale Banachraum für jede Dimension k eine (1 + ϵ)-isomorphe Kopie des Hilbertraums l2(k) als Unterraum; in der Theorie der endlichen Darstellbarkeit von Banachräumen bedeutet das, daß l2 in jedem unendlichdimensionalen Banachraum endlich darstellbar ist.

Im allgemeinen ist ein k, zu dem ein (1 + ϵ)-Hilbertscher Teilraum existiert, nur von der Größenordnung log n wählbar, z.B. für E = l’(n); bessere Abschätzungen wurden von Figiel, Linden-strauss und Milman für Räume endlichen Kotyps bewiesen (Typ und Kotyp eines Banachraums). Hat nämlich E Kotyp q mit der Kotypkonstanten Cq(E), so kann man im Satz von Dvoretzky sogar

\begin{eqnarray}k=[c^{\prime}(\varepsilon ){n}^{2/q}/{C}_{q}{(E)}^{2}]\end{eqnarray}

wählen.

Der Satz von Dvoretzky kann äquivalent in der Sprache der Konvexgeometrie formuliert werden. Dann lautet er wie folgt:

Zu jedem ϵ > 0 existiert eine Konstante c(ϵ) > 0 mit folgender Eigenschaft: Ist K ⊂ ℝnein konvexer symmetrischer Körper und k = [c(ϵ) log n], so existiert ein k-dimensionaler (1+ϵ)-euklidischer Schnitt von K, d. h. es existieren ein k-dimensionaler Unterraum F vonnund ein Ellipsoid C in F mit

\begin{eqnarray}C\subset K\cap F\subset (1+\varepsilon )C.\end{eqnarray}

[1] Milman,V.D.; Schechtman,G.: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1986.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos